8.1 고전적 검정
오류
- 1종 오류: 귀무가설이 사실일 때 귀무가설을 기각하는 오류
- 2종 오류: 귀무가설이 사실이 아닐 때 귀무가설을 기각하지 않는 오류
기각역을 이용한 고전적 검정
- 기각여기 귀무가설을 기각하도록 하는 관측치의 영역
- 1종 오류 확률과 2종 오류 확률의 균형을 맞추는 선에서 기각역 결정
- 1종 오류의 상한가: 유의수준 알파
- 1종 오류 확률이 유의 수준을 넘지 않는 범위에서 2종 오류 가장 작게 만드는 기각역 선택
유의확률을 이용한 고전적 검정
유의확률: 검정통계량이 관측치와 같거나 더 극단적인 값(대립가설로 치우친)을 가질 확률
- 유의확률 > 알파: 귀무가설 기각
단점
- 귀무가설이 대립가설에 내포된 경우가 아니면 적용 어려움
ex. H0: 성장곡선이 이차곡선이다 / H1: 성장곡선이 지수함수곡선이다 - 유의확률은 관측되지 않은 더 극단적인 검정통계량에도 의존함
- 실제로 수행되지 않은 실험 가정
- 우도원리에 어긋남, 해석 모호
- 가능한 한 귀무가설을 기각하지 않는 방향으로 검정 수행 -> 귀무가설에 특혜
- 2종 오류보다 1종 오류를 더 심각하게 간주
- 여러 개의 가설을 비교하는 다중 검정에서는 적용 어려움
8.2 베이지안 검정
: 모수 θ에 대한 사전정보와 자료정보를 통합하여 각 가설에 대한 사후 확률을 구하여 이를 바탕으로 검정 수행
사후비
ex. H0: θ ∈ θ1, H1: θ ∈ θ2
사후비를 구하여 p1 = 1-p0임을 활용하여 p0, p1을 구할 수 있음
가설이 여러 개인 경우에도 적용 가능
사전비
사후비는 사전비에 의존
사전비가 크면 사후비가 커짐, H0를 채택할 가능성이 증가
베이즈 상수
: 사후비와 사전비의 비율
B01 = 2: 사후정보가 H1 대비 H0에 주는 지지도가 사전정보의 지지도에 비해 2배
사후정보에 추가된 자료의 영향을 받음
- = 가중 우도비: 분자 분모가 우도함수의 가중평균으로 볼 수 있음
- = 주변우도비: 각 가설 하에서 관측치의 주변밀도함수값의 비율로 볼 수 있음
8.3 베이지안 일면 검정
X1,...,Xn|θ ~ N(θ, σ^2)
H0: θ ≤ θ0, H1: θ > θ0
베이지안 검정
- 사전분포: π(θ) = 1
사후분포: θ|x1,...,xn ~ N(x.bar, σ^2/n) - H0의 사후확률 p0 = P(θ≤θ0|x.bar) = Φ((θ0-x.bar)/(σ/sqrt(n))
고전적 유의확률
p-value = P(X.bar≥x.bar|θ0) = Φ((θ0-x.bar)/(σ/sqrt(n))
- 베이지안 사후확률과 일치
- 고전적 유의수준이 α일 때, 베이지안 검정에서 p0<α 일 때 귀무가설 기각하면 베이지안과 고전적 검정은 동일한 검정이 됨
8.4 베이지안 양면 검정
자료가 정규분포를 따를 경우
X1,...,Xn|θ ~ N(θ, σ^2)
H0: θ = θ0, H1: θ ≠ θ0
- 무정보 사전분포: π(θ) = 1, 공액 사전분포: 정규분포
- θ에 대해 연속분포 가정하면 θ = θ0의 사전확률이 0이 됨(연속분포의 한 점에 대한 확률은 0)
- 베이지안에서는 이를 해결하기 위해 연속, 이산의 합성 사전분포 가정
π(θ) = π0 (if θ = θ0)
π(θ) = (1-π0)g(θ) (if θ ≠ θ0)
자료가 이항분포를 따를 경우
X1,...,Xn|θ ~ B(n, θ)
H0: θ = θ0, H1: θ ≠ θ0
θ ~ Beta(α, β)
자료가 포아송분포를 따를 경우
X1,...,Xn|θ ~ Poi(θ)
H0: θ = θ0, H1: θ ≠ θ0
θ ~ Gamma(α, β)
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