지난 포스트에서는 2차원 상에서의 2링크 기구학과 역기구학을 계산해보았다.

3차원 기구를 단순히 방정식으로 풀려면, 더 복잡하고 훨씬 긴 수식이 필요하고, 매우 비효율적이다.

실제 로봇팔 등에서 사용하는 계산에서는 방정식 대신에,
'Transformation Matrix (변환행렬)'을 사용한다.

그 수학적 증명을 천천히 따라가보자.

해당 내용을 이해하려면 먼저 선형대수학과 행렬에 대한 기본적인 이론적 기초가 필요하다.
모른다면 아래 내용을 참고하면 좋을 것이다.

선형대수학 참조
선형대수학의 본질 | 3Blue1Brown
공돌이의 수학정리 노트 - 선형대수 | 공돌이의 수학정리 노트

추천하는 로봇공학 강의
로봇제어공학 | 경희대학교 김동한 교수님

1. 3차원 공간에서 좌표계의 정의

표준적인 3차원 좌표계의 좌표축은 그림과 같이 $x, y, z$ 로 이루어진다.

$z$ 축의 방향은 $x\times y = z$ 로 정의된다.

공간 상에 여러개의 좌표계가 있고, A 좌표계, B 좌표계 등으로 정의를 한다.

이제 공간 상의 한 점 P를 A 좌표계, B 좌표계로 표현해볼 수 있다.

각각 ${}_{}^{A}P = \begin{bmatrix} {}_{}^{A}p_x \\ {}_{}^{A}p_y \\ {}_{}^{A}p_z \end{bmatrix}$

${}_{}^{B}P = \begin{bmatrix} {}_{}^{B}p_x \\ {}_{}^{B}p_y \\ {}_{}^{B}p_z \end{bmatrix}$ 로 표현된다.

왼쪽 위 첨자가, 기준이 되는 좌표계이다.

2. 행렬의 회전

2차원

그림은 2차원에서, $x_A,y_A$ 좌표축을 $\theta$ 만큼 회전시킨 $x_B, y_B$ 좌표축이다.

$x,y$ 축의 변환을 따로 계산할 수도 있겠지만, 행렬로 표현해보자.
이에 대한 답은 잘 알려져있다시피,

이를 유도해보자.

$X,Y$는 원본 좌표계의 각 축을 A 에서 B로 회전시키는 열들이다. 각각 A 좌표계의 $x$축, $y$축을 회전시킨다. 또한 선형대수학의 관점에서 볼 때, 각 축의 회전 이후의 좌표라고도 볼 수 있다. 선형대수학의 새로운 관점 | 3Blue1Brown

예를 들어, 1열은 B 좌표계의 단위 $x$벡터 $X_B$ 를 A 좌표계의 단위벡터 $\hat{X_A},\hat{Y_A}$ 로 나타낸 값이다.

직관적으로는,

3차원

3차원으로 확장하면,

행렬을 보면, ${}_B^AR^T = {}_A^BR$ 이라는 사실을 눈치챌 수 있다. 이는 A의 단위벡터를 B에서 나타내느냐, B의 단위벡터를 A에서 나타내느냐의 차이기 때문이다. 서로의 행이 그대로 열로 사용될 수 있다.

공간상 임의의 점 $P$ 를 A 좌표계에서 B 좌표계로 회전하면,
A 좌표계를 원점이동 없이 회전 -> ${}_{}^{A}P = {}_{B}^{A}R\times {}_{}^{B}P$
역으로는, ${}_{}^{B}P={}_B^AR^T\times {}_{}^{A}P={}_{A}^{B}R\times {}_{}^{A}P$

예시

그림은 검은색 좌표계인 A 좌표계를, x축 방향으로 $30\degree$만큼 회전시킨 좌표계 B이다.

단위벡터끼리의 내적은 결국 벡터사이 각도의 코사인 값인 것을 생각하자

예를 들어 $\hat{X}_B \cdot \hat{X}_A$ 의 경우, 둘이 일치하므로, $cos0=1$ 이다.
$\hat{Z}_B \cdot \hat{Y}_A$ 의 경우, 사이 각도가 $120\degree$이므로, $cos(120\degree) = -sin(30\degree) = -0.5$ 이다.

이와 같이, 첫 번째 열은 $X_B$와 A 의 단위 벡터 세 개 각각의 코사인 값이고, 두 번째 열은 $Y_B$ 와 A 의 단위 벡터 세 개 각각의 코사인 값이다.

3. 좌표계의 평행이동

좌표계의 평행이동은 매우 단순하다.

좌표계 A의 원점을 $(0, 0, 0)$ 로 하는 글로벌 좌표계가 있다.

좌표계 B의 원점은 글로벌 좌표계 기준 $(1, 2, 3)$ 이다.

B 좌표계는 A 좌표계를 회전 없이 평행 이동한 결과이다.

아주 당연하게도, A 의 원점에서 B 의 원점까지의 벡터만큼 움직이면 된다.

이러한 벡터를 그림과 같이 정의할 수 있다.

A좌표계의 기준으로, B 좌표계의 원점까지의 벡터: ${}_{}^{A}P_{BORG} = P_{BORG}-P_{AORG}$

이제 공간상 임의의 점 $P$ 에 대해 B 좌표계 기준 좌표값을 A 좌표계 기준 좌표값으로 나타낼 수 있다.

${}_{}^{A}P ={}_{}^{A}P_{BORG} + {}_{}^{B}P$

4. Transformation Matrix, 변환행렬

이제 좌표계의 회전과 평행이동을 동시에 수식으로 나타낼 수 있다.

A 좌표계에서 B 좌표계의 원점으로 평행이동을 한 후, 좌표계가 틀어진 만큼 회전하면,

${}_{}^{A}P={}_{B}^{A}R\times {}_{}^{B}P+{}_{}^{A}P_{BORG}$
A 좌표계 기준 P = B 좌표계 기준 P 를 A 좌표계와 평행하도록 회전 + A 원점에서 B 원점

위 수식을 행렬곱 하나로 나타낼 수 있다!

이 행렬 수식을 이용하면, 회전과 평행이동을 하나의 행렬, $\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 로 나타낼 수 있다.

$\begin{bmatrix} {}_{}^{A}P \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {}_{B}^{A}R & {}_{}^{A}P_{BORG} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {}_{}^{B}P \\ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {}_{B}^{A}R\times {}_{}^{B}P+{}_{}^{A}P_{BORG} \\ 1 \end{bmatrix}$

이렇게 만든 $\begin{bmatrix} {}_{B}^{A}R & {}_{}^{A}P_{BORG} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 형태의 행렬을 $Transformation$, 변환행렬이라 하고,

${}_{B}^{A}T$ 로 표기한다.

${}_{}^{A}P={}_{B}^{A}T\times {}_{}^{B}P$

예시

$(0,0,0)$ 을 원점으로 하는 좌표계 A,
$(2,1,3)$ 을 원점으로 하는 좌표계 B 가 있다.
좌표계 B는 A 에서 z축 방향으로 $30\degree$ 만큼 회전하였다.

${}_{}^{B}P = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

${}_{}^{A}P_{BORG} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

${}_{B}^{A}R=\begin{bmatrix} \cos(30\degree) & -\sin(30\degree) & 0 \\ \sin(30\degree) & \cos(30\degree) & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

5. 다중 링크의 정기구학

위에서 굳이 변환행렬의 형태로 행렬 하나로 정리한 이유는 다중 링크의 경우에서 계산을 매우 쉽게 하기 위해서이다.

좌표계를 연속적으로 연결할 경우, 단순히 변환행렬을 연속으로 곱해주면 된다.

A->B

${}_{}^{A}P={}_{B}^{A}T\times {}_{}^{B}P$

A->B->C

${}_{}^{A}P={}_{B}^{A}T\times {}_{C}^{B}T\times {}_{}^{C}P$

2링크 변환행렬의 결과는 알아두면 좋다. 아래와 같다.

${}_{C}^{A}T = \begin{bmatrix} {}_{B}^{A}R \cdot {}_{C}^{B}R & {}_{B}^{A}R \cdot {}^{B}{P}_{CORG} + {}^{A}{P}_{BORG} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

6. 역방향 계산

지금까지는 말단 좌표계의 좌표를 글로벌 좌표계로 나타내었다.

이번에는 글로벌 좌표계 기준 좌표를 말단 좌표계 기준으로 구해보자.

아래의 식으로부터,

${}_{}^{A}P={}_{B}^{A}T\times {}_{}^{B}P$

다음 식을 유도할 수 있다.

${}_{}^{B}P={{}_{B}^{A}T}^{-1}\times {}_{}^{A}P$

이 때 변환행렬의 역행렬은 다음과 같다.

${}_{A}^{B}T = {{}_{B}^{A}T}^{-1} = \begin{bmatrix} {{}_{B}^{A}R}^\top & -{{}_{B}^{A}R}^\top \cdot {}^{A}P_{BORG} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

정기구학 다중 링크의 경우,

${}_{}^{A}P={}_{B}^{A}T\times {}_{C}^{B}T\times {}_{}^{C}P,$

${{}_{C}^{B}T}^{-1}\times {{}_{B}^{A}T}^{-1}\times {}_{}^{A}P={}_{}^{C}P$

-> ${}_{}^{C}P={{}_{B}^{C}T}\times {{}_{A}^{B}T}\times {}_{}^{A}P,$

이런 식으로 계산하면 된다.