수치를 통한 연속형 자료의 요약

YongUk·2022년 9월 18일

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표와 그림을 이용한 자료 요약의 단점

일관성 객관성 부족 / 작성자의 주관적 판단에 따라 달라질 수 있음
추론을 위한 이론적 근거 부족
이를 보완하기 위해 객관적인 수치로 자료의 분포를 파악

중심위치의 측도

평균

모든 관측값의 합을 자료의 개수로 나눈 것
일반적으로 가장 많이 쓰이는 중심위치 측도이다
표본평균 : 표본자료의 평균
주의할 점 : 극단적인 값들에 의해 영향을 많이 받음

중앙값

자료를 크기순으로 배열했을 때 가운데 위치하는 값
자료의 개수가 홀수면 가운데 값 / 짝수면 가운데 두 값의 평균
평균과 달리 극단적인 값들에 영향을 받지 않음

최빈값

관측값 중 가장 자주 나오는 값
이산형, 범주형 자료에서 주로 사용
연속형 자료에서는 같은 값이 다시 나오는 경우는 흔하지 않기 때문
이봉형 분포에서는 최빈값이 여러 개 존재하기에 중심위치 측도로 적절하지 않음

표본평균 VS 중앙값

	표본평균	중앙값
장점	자료 전체의 값에 의해 결정되므로 대푯값으로서의 가치가 있음	극단적인 값에 영향을 받지 않음
단점	극단적인 값에 영향을 받음	자료의 전체가 아닌 가운데 값에 대해

자료분포의 모양에 따라 중심위치의 측도가 달라짐

퍼진 정도의 측도

분산과 표준편차

편차 : 표본평군은 중심위치 즉도로 사용할 때 관측값 - 표준편차
편차의 합은 항상 0

표본분산

$S^2 = 편차의 제곱합/n-1$

표본분산의 특징
일반적으로 표본분산은 모분산하고 같아지길 바란다. 하지만 표본평균을 이용하여 표본분산을 구하게되면 모분산보다 더 적은 경향이 있다. 왜냐하면 전체 집단에서 일부만 빼내기 때문에 모집단을 과소평가하려는 경향이 있다. 따라서 자유도인 n-1을 이용하여 나눈다.

자유도
3개의 물건을 3명이 나누어 가진다고 한다면 A가 1번 B가 2번을 가져가면 C에게는 선택권이 없다
따라서 이러한 경우 3명이지만 자유도를 가진사람은 2명이라고 말할 수 있다. 이를 분산과 평균에 접목시키면 표본평균을 알고있다라는 가정하에 각각의 원소들은 n개중 n-1개만 알면 나머지 하나는 표본평균에 의해 자동 결정되기에 n-1개의 자유도를 가진다고 말할 수 있다.

굳이 n-1로 나누는 이유
1. 자유도가 n-1이기 때문에 →근본적인 이유는 모르겠음
2. 분산의 기대치을 이용하면 수학적으로 증명이 가능하다
자세한 이유는 너무 어렵다..그냥 n-1만 외우자..

표본표준편차

S = \sqrt{(S^2)}

S가 크다 = 편차의 절대값이 큼 = 관측값이 평균으로부터 멀리 떨어져있음

백분위수

중앙값의 개념을 확장시킨 값이라 할수 있다
제 $100 \times P(0\leq P \leq 1)$ 백분위수 : 자료의 $100 \times P \%$ 에 위치한 값
백분위수보다 작거나 같은 자료의 수가 $np$ 개 이상이고 그 값보다 크거나 같은 자료의 수가 $n(1-p)$ 개 이상인 값
백분위수 구하는 법
- $np$ 가 정수이면 $np$ 번째 값과 $np+1$ 번째 값의 평균
- $np$ 가 정수가 아니면 $[np+1]$ 번째 값

사분위수

전체 자료를 사등분하는 값
제 1사분위수 : 제 25백분위수 / 제 2사분위수 : 제 50백분위수(중앙값) / 제 3사분위수 : 제 75백분위수
사분위수범위 : 제 1사분위수와 제 3사분위수사이범위
- 상위 25%와 하위 25%를 뺀 나머지 50%의 값
- 극단적인 값을 제외한 자료의 퍼진정도를 알 수 있음
- 한쪽으로 치우친 자료의 퍼진정도를 나타낼때 유용함

퍼진 정도의 측도 비교

범위
- 장점 : 간편하게 구할 수 있고 해석이 용이함
- 단점 : 자료의 양 끝 값에 의해 결정되기에 중간의 값들이나 분포특징들을 고려할수 없음
  극단적인 값에 영향을 받음
표준편차 (평균과 특징이 비슷함)
- 장점 : 전체 자료의 값을 반영함
- 단점 : 극단적인 값에 영향을 받음
사분위수범위 (중앙값과 특징이 비슷함)
- 장점 : 극단적인 값에 영향을 받지 않음
- 단점 : 제 1,3 사분위수의 관측값은 반영하지 않음

변동계수(coefficient of Variation : CV)

표준편차, 사분위수범위, 범위가 모두 적절하지 않은 경우 사용함
- 단위가 다른 경우
- 중심위치가 매우 다른 두 자료의 경우
- ex) 평균 50 표준편차 5인 자료와 평균 20 표준편자 5인 자료를 비교
자료의 단위에 영향을 받지 않는 상대적인 측도가 필요함
변동계수 : $CV =\frac{표준편차}{평균} \times 100$
표본평균에 대해 상대적인 퍼진 정도를 백분율로 나타낸 값
위 예시를 적용해 보자면 전자는 10, 후자는 25가 나온다 따라서 후자의 분포가 더 퍼져있음을 알 수 있다.
이처럼 평균이 크게 차이가 나거나 단위가 다른 두값을 비교할 수 있다.