[Quantum Computing] Week 2 : 선형대수 review-2

Week 2 : 선형대수 review-2

내적의 특성

• Notation : $a|W⟩ + b|Z⟩ = |aW + bZ⟩$
  • 이차원 공간에서 벡터 W와 Z를 조합하면 새로운 벡터가 나타나며, 이 새로운 벡터는 원래 공간 내 특정한 위치를 가리킨다.
  • 조합된 두 개의 벡터는 각각의 가중치를 곱해 더해지며, 이 과정을 통해 새로운 벡터가 생성됨.
  • 즉, 덧셈에 대해 닫혀있는 성질을 가진다고 볼 수 있음.
• 위를 바탕으로 일반적인 내적 연산 정의에 의해, $⟨V|(a|W⟩+b|Z⟩) = ⟨V|aW+bZ⟩ = a⟨V|W⟩+b⟨V|Z⟩$ 로 나타낼 수 있다.

Orthogonal / Perpendicular 개념

• 두개의 벡터의 내적 값이 0이 되면, 두 벡터는 직교한다는 의미를 가짐.

Norm

• 자기 자신에 대해 내적 후 제곱근을 취한 것을 Norm 이라고 정의된다.
• Norm은 벡터의 길이 라고도 불림

Orthonomal basis

• Orthonomal basis는 서로 직교하고 길이가 1인 basis 벡터들의 set이다.
• 가장 대표적인 예시로, 3차원 공간에 x/y/z축의 길이가 1인 벡터들이 Orthonomal basis 라고 할 수 있다.

Gram-Schmidt 정리

• 내적이 정의되어 있지 않더라도 1차 독립 또는 종속을 논할 수 있음
• basis는 일반적으로 직교하지만 기울어져 있는 basis도 존재할 수 있으며 임의의 점에 대해 basis 벡터들을 조합함으로써 항상 직교하는 basis, 즉 orthonomal basis를 찾을 수 있다.
• braket 로테이션을 활용해서 이를 증명할 수 있음...(증명과정은 패스)
  $\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases}$
• 주어진 베이스에 관계없이 항상 Orthonomal basis를 찾을 수 있으며, 이 베이스의 가장 큰 성질은 인덱스가 다른 벡터끼리는 내적 결과가 0이 되어야함. 또한, 같은 인덱스끼리 내적을 하면 그 길이는 1이 된다.(Kronecker delta)
• 또한, 두 벡터 V,W는 Orthonomal basis 성분으로 확장(분해)될 수 있다.
  $|V⟩ = \sum_i v_i|i⟩$
  $|W⟩ = \sum_j w_j|j⟩$
  Skew-symmetry 특성을 적용하면 아래와 같이 표현할 수 있다.
  $⟨V|W⟩ = \sum_i\sum_j v_i^*w_j⟨i|j⟩ = \sum_i v_i^*w_i$

Adjoint Operation

• 위 식에서 볼 수 있듯이, 열 벡터와 행 벡터에 대한 내적은 complex conjugation과 곱의 합으로 계산된다.

• 행렬 𝐴의 Adjoint는 아래와 같이 정의할 수 있다.

  $A^\dagger = \left( A^T \right)^* = \overline{A^T}$
  • 열 벡터에서 행 벡터로 변환할 때, Transpose(전치행렬) 이후 complex conjugation도 함께 수행해야 한다.
  • 이 과정을 adjoint operation 이라고 부르며, 이는 트랜스포스 행렬과 complex conjugation 을 동시에 수행하는 것이다.
  • 선형 방정식의 Adjoint를 찾기 위해서는 각 성분의 bra를 ket으로 바꾸고, 스칼라 값을 적절히 곱해야함.

• 이를 이용하여, 복소수 행렬에서 adjoint를 구하는 예시는 아래 과정과 같다.
  

Schwarz inequality

• 수식으로 정의하면 아래 식과 같음
  $\left| \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle \right| \leq \| \mathbf{u} \| \cdot \| \mathbf{v} \|$
  • 두 벡터의 내적의 절댓값이 각 벡터의 길이의 곱보다 클 수 없다는 것을 나타낸다.
  • 내적의 값은 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하고 있는지, 혹은 어느 정도 관련이 있는지를 나타내는데 Schwarz 부등식은 이 값의 최댓값이 벡터의 길이 곱이라는 것을 보장한다고 볼 수 있다.
• 위 정의의 증명과정은 강의영상 48:00에 나오는데, 생략하였습니다...

Subspace

• 부분 공간은 3차원 및 2차원 공간의 예로 쉽게 설명할 수 있고, 기존 3차원 공간 $R$에서 z 성분이 0이 되었다고 가정하였을때 x와 y 성분으로 스팬된 2차원 공간 $W$은 차원이 줄어들며 차원 $R$의 subspace가 된다.

Linear Operator

• Operator : 임의의 벡터 $|V⟩$가 주어졌을때, 이를 $|V'⟩$으로 매핑시켜주는 일종의 함수 관계

  • $|V'⟩$ = $\Omega|V⟩$ 일때 $\Omega$가 Operator가 된다!
  • Operator가 꼭 선형일 필요는 없으나, 본 강의에서는 Linear Operator만 다룸
  • 즉, $|V⟩$에서 Operator를 조합한 결과인 $|V'⟩$는 기존의 $|V⟩$와 같은 벡터공간에 있는 경우만 다룸.(2차원 -> 2차원, 3차원 -> 3차원 Operator)
  • Operator를 bra 벡터에 적용한 경우 $\Omega⟨V|$ = $⟨V'|$ 가 된다.
  • Operator가 선형일 경우 아래 rules 을 자연스럽게 따르게 됨.
    • $\Omega\alpha|V_i⟩$ = $\alpha\Omega|V_i⟩$
    • $\Omega(\alpha|V_i⟩ + \beta|V_j⟩) = \alpha\Omega|V_i⟩ + \beta\Omega|V_j⟩$

• Basis 벡터 $|1⟩,|2⟩,|3⟩, ...$에 대해, Linear Operator $\Omega$ 를 적용한 결과인 $|1'⟩,|2'⟩,|3'⟩, ...$ 값이 주어질 경우 선형성을 활용하여 각 성분별로 계산함으로써 전체 벡터의 계산을 단순하게 할 수 있다.

  • $\Omega|V⟩$ = $\Sigma_i\Omega v_i|i⟩$ = $\Sigma_i v_i\Omega|i⟩$ = $\Sigma v_i|i'⟩$

• Product of Two operators

  • $\wedge\Omega|V⟩ \equiv \wedge(\Omega|V⟩) \equiv \wedge|\Omega V⟩$
  • 오퍼레이터의 곱은 두 개의 오퍼레이터에 대한 정의로, 주어진 벡터에 대해 먼저 오른쪽 오퍼레이터가 작용한 후, 그 전체 결과에 대해 왼쪽 오퍼레이터가 적용된다.

• Operator는 매트릭스 형태로 나타낼 수 있으며, 원래의 벡터는 반드시 Basis 벡터가 존재해야 한다.

Commutator

• Commutator는 두 개의 Operator 간 관계를 나타낸다.
• [$\Omega, \wedge$] $\equiv \Omega\wedge - \wedge\Omega$ 로 두개의 Operator 관계를 [ ]의 Commutator 형태로 표현할 수 있다.
• 이를 통해, Commutator는 주어진 벡터에 적용된 Operator의 작용 순서를 비교하여 두 결과의 차이를 측정한다.
• Operator $\Omega$의 Inverse
  • $\Omega\Omega^{-1} = \Omega^{-1} \Omega = I$
  • $(\Omega\wedge)^{-1} = \wedge^{-1}\Omega^{-1}$
  • 주어진 오퍼레이터와 곱해졌을 때 $I$ 오퍼레이터가 나오는 오퍼레이터를 Inverse 라고 부르며, 이는 항상 존재하지 않을 수 있다.(행렬의 역행렬 처럼)

출처

• [서울대학교 공과대학]양자 컴퓨팅 및 정보의 기초 2. 선형대수 review II