[Quantum Computing] Week 3 : 선형대수 review-3

Week 3 : 선형대수 review-3

Identity Operator

• 아무것도 하지 않는 오퍼레이터
• 즉, 아이덴티티 오퍼레이터는 i, j 번째 성분을 구할 때 $I_{ij}$는 $⟨i|I|j⟩$와 같다는 것을 의미하며, 이를 정리하면 결국 $⟨i|I|j⟩$ $\equiv$ $⟨i|j⟩$$\equiv$ $\delta_{ij}$가 나오게 된다.

Projection Operator $P_i$

• $|V⟩$ = $\sum_{i=1}^{n} ⟨i|V|i⟩ = \sum_{i=1}^{n}|i⟩⟨i|V⟩$=$(\sum_{i=1}^{n}|i⟩⟨i|)|V⟩$ 와 같이, 주어진 벡터 v에 대해 내적을 수행한 후 그것의 길이를 계산하고 원래의 유니팩트를 곱하여 성분을 뽑아내는 과정을 projection 이라고 함.
• 이때 Projection Operator $P_i = |i⟩⟨i|$ 로 정의할 수 있다.
• 위 식과 같이 모든 항들이 $|V⟩$라는 공통 요소를 가지고 있어 이를 묶을 수 있으며, 따라서 n=2차원 벡터일때 $|1⟩⟨1|$$|V⟩$+ $|2⟩⟨2|$$|V⟩$형태로 나타난다.
• 결국 이러한 과정은 아이덴티티 오퍼레이터와 동일한 역할을 한다.
• 모든 basis 벡터에 대한 Projection operator들의 합은 Identity operator와 같으며, 이를 Completness relation 이라고 한다.

Outer product

• 외적 예시 : $|V⟩⟨V'|$
• 오퍼레이터는 캣 브라 형태로 구성되며, 이는 아우터 두 개의 캣과 브라를 조합하여 만들어진다.
• 주어진 basis에 따라 여러 벡터를 활용해 오퍼레이터를 만들 수 있다.

행렬과 Operator의 관계

• $(\Omega\land)_{ij} = ⟨i|\Omega\land|j⟩ = ⟨i|\Omega(\sum_{k=1}^{n}|k⟩⟨k|)\land|j⟩ = \sum_{k=1}^{n}⟨i|\Omega|k⟩⟨k|\land|j⟩ = \sum_{k=1}^n\Omega_{ik}\land_{kj}$ 와 같이,
• Completness relation을 사용하여 k=1부터 n까지 설명하고, 이를 기반으로 J 형태의 람다를 도출할 수 있다.
• 이때 구조는 $\sum_{k=1}^n\Omega_{ik}\land_{kj}$가 되어, 원소들이 1부터 n까지 더해지며 나타난다.
• 결과적으로 두 개의 매트릭스의 곱은 행렬 곱과 동일하게 처리할 수 있어, 오퍼레이터를 매트릭스처럼 다룰 수 있다는 결론을 얻을 수 있다.

Adjoint of an operator

• 일반적으로 선형대수는 실수 필드를 다루지만, 양자컴퓨터 분야에서는 필드가 복소수로 가정된다는 점이 다르다.
• Operator의 Adjoint를 구하는 방법은 Review-2 자료 참고!
  • 우선 주어진 행렬의 행과 열을 바꾸는 Transpose 연산 이후, complex conjugation까지 수행하면 adjoint를 구할 수 있다.
  • $|V⟩$ 에 $\Omega$ operator를 적용시킨 결과 -> $\Omega|V⟩=|\Omega V⟩$ 로 나타낼 수 있다. 이것의 adjoint는 $⟨\Omega V|$ 이다.
  • 반대로 $|V⟩$의 bra 벡터 $⟨V|$를 먼저 구하고, $⟨V|$ -> $⟨\Omega V|$로 만들어주는 operator를 $\Omega^\dagger$ 라고 하면, 이는 $\Omega$의 adjoint operator라고 할 수 있다.
  • 즉, $⟨V|\Omega^\dagger = ⟨\Omega V|$

Dual Space

• 듀얼 스페이스 개념은 캣 벡터와 브라 벡터의 관계로 설명되며, 한 쪽 공간의 변화를 다른 공간에 대응시키는 것이다.
• 즉, 한 공간에서의 조합이 다른 공간에서도 동일한 관계로 유지된다는 것을 의미
• (예시) ket 형태의 basis 벡터 $|1⟩, |2⟩$로 선형 조합되는 $|V⟩$ ket 벡터가 있을 때
  $|V⟩=2|1⟩+3|2⟩$로 나타난다고 가정.
  • $⟨V|$ bra 벡터를 구하기 위해서, $|V⟩=2|1⟩+3|2⟩$의 adjoint 관계를 찾아서 대응시키는 방법이 있음.
  • 또다른 방법으로, $⟨V|$ bra 벡터를 구하기 위해 각각의 $|1⟩, |2⟩$ 에 대해 adjoint 관계를 구해서 $⟨1|, ⟨2|$로 대응시킨 후 $⟨1|, ⟨2|$의 선형 조합으로 $⟨V|$를 구할 수 있다!

Hermitian Operators

• Hermitian operator의 정의 : 어떤 operator $\Omega$에서, adjoint operator $\Omega^\dagger$ = $\Omega$ 일때 operator $\Omega$를 Hermitian operator라고 한다.
• anti-Hermitian : if $\Omega^\dagger$ = $-\Omega$ 일 경우
• 임의의 operator $\Omega$는 Hermitian part와 anti-Hermitian part로 아래와 같이 나눌 수 있다.
  • $\Omega$ = $(\Omega+\Omega^\dagger)/2 + (\Omega-\Omega^\dagger)/2$

Unitary Operator

• Unitary operator $U$ 정의 : if $UU^\dagger=I$ 일때 $U$ 가 unitary operator가 된다.
  • 즉, $U^\dagger$ = $U^{-1}$
• 따라서 이는 크기가 1인 복소수(complex number)와 성질이 매우 유사함.
  • $u=e^{i\theta}$라고 할때, $uu^\dagger=$$e^{i\theta-i\theta}=e^0 = 1$
• unitary operator는 벡터의 방향은 바뀌지만 원래의 길이가 변하지 않고 그대로 유지된다는 성질을 가진다

Trace

• $Tr(\Omega) = \sum_{k=1}^n\Omega_{ii}$
  • Operator의 Trace는 n차원 공간에서 정의된 operator의 합과 같다.
• $Tr(\Omega\land) = Tr(\land\Omega)$ 성립. 이 성질의 증명과정은 생략..(스칼라값이기 때문에 순서에 구애받지 않음)
• 행렬에서는, 행렬의 대각 행렬들을 모두 더하는 것이 trace가 된다.

Eigenvalue

• linear operator $\Omega$에서, $\Omega|V⟩ = w|V⟩$ 를 만족할때 $|V⟩$를 $\Omega$의 Eigenvector, $w$ 값을 $\Omega$ 의 Eigenvalue라고 한다.
• 따라서 Eigenvalue problem에서 $(\Omega-wI)|V⟩=0$ 을 만족하는 $w$, $|V⟩$를 찾아야 함.
• 벡터의 Eigenvalue를 구하는 과정은 행렬과 관련이 있다. 벡터 자체로는 고유값을 구할 수 없고, 주어진 행렬과 그 행렬의 고유벡터를 사용하여 고유값을 계산하게됨.
  • 고유값을 구하려면 먼저 행렬 $𝐴$의 특성 방정식을 구해야 하며, 방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있다. 이때, $λ$가 고유값이 됨.
  • $det(A−λI)=0$ 를 만족하는 고유값 $λ$를 solve!
  • 이후 구해진 고유값 $λ$에 따라, $(A-wI)|V⟩=0$을 만족하는 $|V⟩$를 찾아주면 이것이 고유벡터(Eigenvector)가 된다.
• 인터넷에 Eigenvalue problem solve에 대한 다양한 예시 문제가 있으니 찾아서 몇개 풀어보면 좋을 듯 합니다.

(예시)

구해진 고유값으로 고유벡터 구하기

출처

• [서울대학교 공과대학]양자 컴퓨팅 및 정보의 기초 3. 선형대수 review III
• https://blog.naver.com/ksunghwank/140123123585