[Quantum Computing] Week4 : 선형대수 review-4

Week 4 : 선형대수 review-4

Hermitian operator의 Eigenvalue

• Hermitian operator 정의 참고
• 임의의 Hermitian operator가 주어졌을때, Hermitian operator의 eigenvalue는 항상 실수이다.
  • if $\Omega = \Omega^\dagger$ 인 Hermitian operator $\Omega$때, $\Omega|w⟩=w|w⟩$라고 하자.
  • 양변에 $⟨w|$를 곱하게 되면, $⟨w|\Omega|w⟩ = w⟨w|w⟩$ 이다.
  • 임의의 어떤 오퍼레이터가 주어지고 양쪽에 bra랑 ket을 곱한 것의 complex conjugation은 bra와 ket의 위치를 바꾸고 가운데 있는 오퍼레이터의 adjoint를 한 값의 계산과 같다. 이 성질을 활용
    • 즉, $⟨v|\Omega|w⟩^* = ⟨w|\Omega^\dagger|v⟩$
  • $⟨w|\Omega|w⟩^* = (w⟨w|w⟩)^*$의 경우 $⟨w|\Omega^\dagger|w⟩ = w^*⟨w|w⟩$ 가 된다.
  • $\Omega$가 Hermitian operator인 경우 $\Omega=\Omega^\dagger$ 이므로 $(w-w^*)⟨w|w⟩=0$ 이 된다. 따라서 $w=w^*$이 되므로 $w$가 실수임을 증명할 수 있다.
• Hermitian operator의 두 eigenvalue가 각각 다른 값이라면, 두 eigenvalue는 직교함.(즉 두 eigenvalue의 내적 값이 0)
  • Hermitian operator $\Omega$ 에서 $\Omega|w_i⟩ = w_i|w_i⟩$, $\Omega|w_j⟩ = w_j|w_j⟩$ 인 eigenvalue $w_i,w_j$가 있다고 가정
  • $\Omega|w_i⟩ = w_i|w_i⟩$ 에서 양변에 $⟨w_j|$ 곱하면 $⟨w_j|\Omega|w_i⟩ = ⟨w_j|w_i|w_i⟩ = w_i⟨w_j|w_i⟩$ 가 되고
  • $\Omega|w_j⟩ = w_j|w_j⟩$에서 양변에 $⟨w_i|$ 곱하면 $⟨w_i|\Omega|w_j⟩ = ⟨w_i|w_j|w_j⟩ = w_j⟨w_i|w_j⟩$ 이다.
  • $⟨w_j|\Omega|w_i⟩$에 complex conjugation 취하면 $w_i⟨w_i|w_j⟩=w_j⟨w_i|w_j⟩$
  • 따라서 $(w_i-w_j)⟨w_i|w_j⟩=0$ 에서, 무조건 $⟨w_i|w_j⟩=0$ 이므로 두 eigenvalue의 내적값은 항상 0
  • 이 성질은 Hermitian 연산자의 고유벡터들이 서로 직교기저를 형성하며, 양자역학에서 관측 가능한 물리량의 상태가 정규직교(orthonormal) 상태로 표현된다는 중요한 의미를 가지게 된다.
• Hermitian 연산자 $Ω$에 대해, orthonormal basis들로 구성된 기저가 최소 하나 존재한다. 이 기저에서 해당 연산자는 대각 행렬(diagonal matrix) 형태로 표현되며, 대각선 성분은 고윳값(eigenvalues)들로 채워진다.
  • Hermitian 연산자는 고유벡터를 기준으로 하면 아주 단순하게 표현가능함.
  • 이 고유벡터들로 구성된 기저에서 Hermitian 연산자를 아래와 같은 대각 행렬로 바꿀 수 있다. 이때 $\lambda_1,\lambda_2\cdots$ 등이 eigenvalue에 해당됨.
    $D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}$
  • 이를 통해 Hermitian operator는 고유벡터들로 이루어진 특정한 기저를 사용하면 아주 단순한 대각 행렬로 바꿀 수 있고, 복잡한 문제의 구조를 단순하게 만들어서 해결가능함.
  • 이에 대한 증명과정은 생략...

Unitary operator의 eigenvalues

• Unitary operator 정의 참고

• Unitary vector의 eigenvalue는 항상 절댓값이 1인 복소수이다.
  

  • 이는 고유벡터가 유니터리 변환을 거치더라도 크기가 변하지 않는다는 것을 보장한다. 양자역학에서 위상 변화(phase shift)와 관련이 있으며, 양자 시스템의 상태를 unitary operator로 표현할 때 중요한 역할을 한다.

• Unitary operator의 eigenvector는, 중복이 없다는 가정하에 서로 직교(orthogonal)한다.
  

  • 양자역학에서, unitary operator가 시간 진화를 나타낼 때 상태 벡터들이 서로 간섭 없이 독립적으로 변한다는 것을 보장한다는 의미를 가짐.

Basic Transformation of an Operator

• 임의의 Operator $\Omega$를 orthonoaml basis $|1⟩,|2⟩,|3⟩,\cdots,|n⟩$에서 행렬로 표현한 것이 $\Theta$ 일때,
  $\Theta = \begin{pmatrix} \langle 1 | \Omega | 1 \rangle & \langle 1 | \Omega | 2 \rangle & \cdots & \langle 1 | \Omega | n \rangle \\ \langle 2 | \Omega | 1 \rangle & \langle 2 | \Omega | 2 \rangle & \cdots & \langle 2 | \Omega | n \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle n | \Omega | 1 \rangle & \langle n | \Omega | 2 \rangle & \cdots & \langle n | \Omega | n \rangle \end{pmatrix}$
• $\Omega$를 새로운 orthonoaml basis $|I⟩,|II⟩,|III⟩,\cdots,|N⟩$ 로 나타내고자 할 때, 새로운 $\Theta'$은 아래와 같이 구하여야함.
  • $\Theta'=U^\dagger\Theta U = \langle i' | \Omega | j' \rangle$
  • 이때 unitary 행렬 $U$는 두 orthonoaml basis간 변환을 수행하는 행렬이며,
    $U = \sum_{m=1}^n |M⟩⟨m|$ 로 나타낼 수 있다. 이때 $|M⟩$은 새로운 기저의 벡터, $⟨m|$은 기존 기저의 벡터이다.
    $\Theta' = \begin{pmatrix} \langle 1' | \Omega | 1' \rangle & \langle 1' | \Omega | 2' \rangle & \cdots & \langle 1' | \Omega | n' \rangle \\ \langle 2' | \Omega | 1' \rangle & \langle 2' | \Omega | 2' \rangle & \cdots & \langle 2' | \Omega | n' \rangle \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \langle n' | \Omega | 1' \rangle & \langle n' | \Omega | 2' \rangle & \cdots & \langle n' | \Omega | n' \rangle \end{pmatrix}$
• 한 기저에서 다른 기저로 바꾸려면, 유니터리 변환을 통해 새로운 기저에서의 행렬 표현을 계산할 수 있으며 이러한 성질은 양자역학 등에서 상태나 연산자를 서로 다른 표현으로 바꾸는 데 자주 사용되므로 참고!

출처

• [서울대학교 공과대학]양자 컴퓨팅 및 정보의 기초 4. 선형대수 review IV