[Quantum Computing] Week 5 : 선형대수 review-5

Week 5 : 선형대수 review-5

Diagonalization of Hermitian Matric

• 만약 두 오퍼레이터 $\Omega$ $\wedge$가 commuting hermitian operators인 경우
  • 이때 commuting operators 의미 : $\Omega$ $\wedge$ = $\wedge$$\Omega$ 성립
  • 위 경우에 두 오퍼레이터에 공통적으로 적용가능한 eigenvectors가 존재한다는 법칙!
• 임의의 두 오퍼레이터가 Hermitian이면서 commute 한다면, 이 두 연산자는 같은 고유벡터 집합으로 동시에 대각형태로 표현될 수 있다.(증명과정은 생략)

Types of objects that can act on vectors

• Scalar : 스칼라 값은 스칼라와 operator 모두 commute 성립
  • 이를 c-numbers 라고 부름.
• Operator : 일반적으로 다른 operator와 commute 성립되지 않는다.(특별한 경우 제외)
  • 이를 q-numbers 라고 부름.
• Function of q-numbers
  • 일반적인 c-number에 대한 함수는 $f(x) = \Sigma_{n=0}^\infty a_nx^n$ 과 같이 power series 형태로 나타낼 수 있음.
  • 이는 Taylor 전개에 의해 $f(x) = \Sigma_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)(a)}} {n!}(x-a)^n$ 으로 확장될 수 있다.
  • c-number 대신에 q-number가 들어가게 되면, $f(\Omega)=\Sigma_{n=0}^\infty a_n \Omega^n$ 이 되고
  • 대표적인 Taylor 전개인 $e^x = \Sigma_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n$ -> $e^{\Omega} = \Sigma_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\Omega^n$ 으로 표현가능하다. 
  • 즉 연산자 $\Omega$에 대해 지수 함수를 정의할 수 있는데, 이는 양자역학에서 매우 중요한 개념이 된다. 예를 들어, 시간에 따른 연산자의 변화를 나타낼 때 시간 발전 연산자(time evolution operator)가 이런 형태를 가진다.
• 이때 주의할 사항은, 위 모든 수식들은 모든 항들의 합이 정확한 값(definite limit)으로 수렴할 때만 유효하다는 점이다.

Functions of Hermitian Operators

• Hermitian 연산자 $\Omega$는 고유기저(eigenbasis)로 표현할 수 있으며, 이 경우 해당 연산자는 대각 행렬로 나타난다.
• $\Omega^m$ 과 같은 멱(제곱) 함수는 각각의 고유값 $\omega_i$의 멱으로 대각 행렬 형태로 표현

• 연산자 함수 $𝑓(Ω)$도 각 고유값에 대해 멱급수 전개를 통해 표현할 수 있으며, 지수 함수 $𝑒^Ω$의 경우 각 고유값에 대한 지수 함수로 확장된다.

• 그럼 Hermitian operator가 non-diagonal matrix 형태로 표현되었을때는?
  • Unitary transformation $U = \sum_{n=1}^{m} |\omega_n\rangle \langle n|$ 을 활용하여 diagonal matrix로 표현한 후 계산할 수 있다.
  • Hermitian 연산자 $Ω$를 비대각 행렬 $𝐻$로 표현한 경우, 위 Unitary transform을 통해 $𝐻$를 대각화할 수 있다.
    $U^{\dagger} H U = D$
    $H=UDU^{\dagger}$
    $H^2 = U D U^{\dagger} U D U^{\dagger} = U D^2 U^{\dagger}$
    $H^m = U D^m U^{\dagger}$
  • Hermitian operator 일때 연산자 함수 $𝑓(𝐻)$는 앞서 설명한 멱급수 전개로 아래와 같이 표현할 수 있다.
    $f(H) = \sum_{m=0}^{\infty} a_m H^m = U \sum_{m=0}^{\infty} a_m D^m U^{\dagger}$
  • 이를 대각행렬의 함수형태로 표현하면..
    $f(H) = U \begin{bmatrix} f(\omega_1) & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & f(\omega_2) & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & f(\omega_n) \end{bmatrix} U^{\dagger}$

Solution of Differential Equation

• Differential Equation $\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=i \Omega|\psi(t)\rangle$ 에서, 초기상태가 주어졌을때 아래와 같이 가정한다.
  $|\psi(t)\rangle = U(t) |\psi(0)\rangle$
  • 이때, $U(t)$는 시간에 따라 상태를 변화시키는 연산자이다.
• 위 가정을 Differential Equation에 그대로 대입하면,
  $\frac{\partial}{\partial t} U(t) |\psi(0)= i \Omega U(t) |\psi(0)\rangle$
  $\left( \frac{\partial}{\partial t} U(t) - i \Omega U(t) \right) |\psi(0)\rangle = 0$
• 이는 초기상태 $|\psi(0)\rangle$에 대해 만족해야하므로
  $\frac{\partial}{\partial t} U(t) - i \Omega U(t) = 0$
• 따라서, $U(t) = e^{i \Omega t}$ 이다.
• 이를 통해 만약 $Ω$가 Hermitian 연산자라면, $𝑈(𝑡)=𝑒^{𝑖Ω𝑡}$ 가 유닛터리 연산자임을 증명할 수 있다. 즉 Hermitian operator $\Omega$에서 $𝑈(𝑡)=𝑒^{𝑖Ω𝑡}$는 시간에 따른 변화를 unitary하게 보장한다는 의미를 가짐!
  • $Ω$가 Hermitian 연산자인 경우 $U(t)U^{\dagger}(t) = I$를 만족하므로...$U(t)$가 Unitary operator이다.