[Quantum Computing] Week 6 : 선형대수 review-6

Week 6 : 선형대수 review-6

⭐️ 양자역학의 3가지 공리 ⭐️

1. [상태] 입자의 양자 상태는 Hilbert 공간의 벡터로 표현된다.

• 즉, 벡터 공간 내 하나의 벡터로 현재 양자 상태가 나타내어질 수 있다. 이 벡터를 통해 입자가 가질 수 있는 여러 가능성을 표현하게 됨
• 여기서 Hilbert 공간이란?
  • 일종의 추상적인 수학적 공간으로, 벡터(길이와 방향을 가진 화살표 같은 것들)로 입자의 상태를 표현할 수 있는 공간이 된다. 이 공간에서 각 벡터는 입자의 상태를 나타내며, 이 벡터가 어떻게 생겼는지에 따라 입자가 가질 수 있는 위치, 에너지, 스핀 등의 정보를 알 수 있다.
• 그러나 양자역학 자체가 모든 입자 상황에 대해 하나의 힐베르트 공간을 의미하지는 않고, 시스템마다 서로 다른 상태 공간이 필요할 수 있다. 따라서 상태 공간은 실험에 의해 적절한 공간을 찾아야함!

2. [시간진화] "Closed" 양자 시스템에서의 진화는 unitary transformation을 따른다.

• 앞서 설명한 것처럼, 양자 상태는 힐베르트 공간의 벡터로 표현된다.
• 닫힌 양자 시스템에서는, 시간이 지남에 따라 이 벡터가 변해도 벡터의 길이는 변하지 않도록 하는 유니터리 변환을 따르게 된다.
• 시간 t1에서 $∣ψ(t_1)⟩$ 벡터가 시간 t2가 되었을때 $∣ψ'(t_2)⟩$ 벡터일 경우
  두 벡터간에는 Unitary Operator $U$로 연결이 된다.
  • $U∣ψ(t_1)⟩=∣ψ'(t_2)⟩$
  • 이를 만족하는 $U$를 찾아서 unitary transform matrix로 표현 가능
• Closed quantum system 이란
  • 외부와 상호작용이 없는 고립된 시스템을 의미함.
  • 외부로부터 영향을 받지 않기 때문에 에너지나 정보의 손실이 없으며, 순수하게 내부 요인에 의해서만 상태가 변화한다.
• 추가로, closed quantum system 에서 연속된 시간에 따른 상태(에너지) 변화는 슈뢰딩거 방정식을 따른다.
  • $i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H} |\psi(t)\rangle$
  • 슈뢰딩거 방정식은 시간에 따라 닫힌 양자 시스템의 상태가 어떻게 변하는지를 나타내는데, 이는 시스템의 에너지와 관련이 있음. 닫힌 시스템에서는 외부 간섭이나 에너지 교환이 없으므로, 상태가 시간에 따라 변해도 전체 에너지는 일정하게 유지된다.
  • 즉, 주어진 에너지의 상태 벡터가 슈뢰딩거 방정식에 따라 시간에 따라 변하지만 그 에너지의 전체 크기(상태 벡터의 길이)는 변하지 않음.
  • 슈뢰딩거 방정식을 활용하면, 초기 양자 상태가 주어진다면 시간의 변화에 따른 양자 에너지 상태를 예측가능하다!

3. [측정] 측정가능한 물리량은 Hermitian Operator $\hat{A}$로 표현가능하며, 이러한 측정의 결과는 $\hat{A}$의 eigenvalues 중 하나로만 나타내진다.

• $\hat{A}$가 상태 $∣ψ⟩$인 양자 시스템을 측정하였을때, 측정결과가 $\hat{A}$의 특정 eigenvalue $λ_i$가 되고 이에 대응한 고유 상태 $|a_i\rangle$로 붕괴될 확률은 아래와 같이 나타내어진다.
  $P(\lambda_i) = |\langle a_i|\psi \rangle|^2$
• 즉, 양자 시스템 물리량의 측정 확률은 초기 상태$∣ψ⟩$와 고유 상태$|a_i\rangle$의 내적을 통해 결정되며, 확률적으로 측정 결과가 나타난다. 따라서 측정을 통해 관측가능한 여러 가능성 중 하나가 확정됨을 의미한다고 볼 수 있음.
• 이는 양자역학에서 불확정성 원리 (Heisenberg's Uncertainty Principle)의 기초가 된다.
  • 위치 연산자와 운동량 연산자는 서로 다른 고유 상태를 가지며, 둘 중 하나의 물리량을 정확히 측정하면 다른 물리량에 대한 불확정성이 커지게 되므로 특정 쌍의 물리량(위치와 운동량 등..)은 동시에 정확하게 측정할 수 없다.

References

• [서울대학교 공과대학]양자 컴퓨팅 및 정보의 기초 6. 선형대수 review VI
• https://computing-jhson.tistory.com/11
• https://youtu.be/YvWApSrUmps?si=GeKXnpmXXRpmeIDH