11660

난이도: 하
링크: https://www.acmicpc.net/problem/11660
문제번호: 11660
생성일: 2021년 4월 1일 오후 9:12
유형: DP

문제

N×N개의 수가 N×N 크기의 표에 채워져 있다. (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구하는 프로그램을 작성하시오. (x, y)는 x행 y열을 의미한다.

예를 들어, N = 4이고, 표가 아래와 같이 채워져 있는 경우를 살펴보자.

여기서 (2, 2)부터 (3, 4)까지 합을 구하면 3+4+5+4+5+6 = 27이고, (4, 4)부터 (4, 4)까지 합을 구하면 7이다.

표에 채워져 있는 수와 합을 구하는 연산이 주어졌을 때, 이를 처리하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 표의 크기 N과 합을 구해야 하는 횟수 M이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1024, 1 ≤ M ≤ 100,000) 둘째 줄부터 N개의 줄에는 표에 채워져 있는 수가 1행부터 차례대로 주어진다. 다음 M개의 줄에는 네 개의 정수 x1, y1, x2, y2 가 주어지며, (x1, y1)부터 (x2, y2)의 합을 구해 출력해야 한다. 표에 채워져 있는 수는 1,000보다 작거나 같은 자연수이다. (x1 ≤ x2, y1 ≤ y2)

출력

총 M줄에 걸쳐 (x1, y1)부터 (x2, y2)까지 합을 구해 출력한다.

풀이

nXm 행렬에서(1,1)에서부터 구간합을 구하는 법은, 다음과 같은 방법이 주로 사용된다.

(4x4) 행렬의 예시로, (1,1)에서(3,3)까지의 구간합을 구한다고 하면,

구간합 = (초록색 영역 + 노란색 영역 - 남색영역 ) + 파란색 영역(3,3의 값)

여기서 남색영역을 빼주는 것은 초록색, 노란색을 더하며 중복된 영역을 제거하기 위함이다.

위를 이용하면 문제의 입력에서 각 칸의 val 값을 받음과 동시에, (1,1)에서 부터의 구간합을 구할 수 있다.

구간합을 저장하는 map을 P라 하고, 편의를 위해 P의 인덱싱을 (1,1)부터 한다고 하면, 그 식은 다음과 같다.

int p_sum[1025][1025];
// 구간합 표 구하기
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		for (int j = 0; j < N; j++) {
			cin >> num;
			p_sum[i + 1][j + 1] = p_sum[i][j + 1] + p_sum[i + 1][j] - p_sum[i][j] + num;
		}
	}

이때, p_sum의 값이 0으로 모두 초기화 되었고, 따라서 최초의 i,j값 (0,0)을 대입했을때, p_sum[1][1]의 값부터 순서대로 채워넣는것을 알 수 있다.

(따라서 2차원 배열의 크기를 입력값보다 1씩 늘린것을 확인 할 수있다.)

문제에서 구하고자 하는 값은 (x1,y1) 에서 (x2,y2)까지의 구간합으로 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

만약 (2,2)에서 (3,3)까지의 구간합(붉은색) 을 구하고자 한다면,

구간합 = 파란색 영역 - 초록색 영역 - 노란색 영역 + 남색영역

즉, 구하고자 하는 영역의 끝점을 기준으로 p_sum[x1 - 1][y2] , p_sum[x2][y1 - 1] 의 값이 빼지게 되며 이를 코드로 다음과 같이 표현할 수 있다.

// 구해야 하는 구간을 입력받고 구간합 출력하기
	for (int i = 0; i < M; i++) {
		int x1, y1, x2, y2;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;

		cout << p_sum[x2][y2] - p_sum[x1 - 1][y2] - p_sum[x2][y1 - 1] + p_sum[x1 - 1][y1 - 1] << '\n';

	}

코드

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int p_sum[1025][1025];

int main() {

	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);

	int N, M, num;
	cin >> N >> M;

	// 구간합 표 구하기
	for (int i = 0; i < N; i++) {
		for (int j = 0; j < N; j++) {
			cin >> num;
			p_sum[i + 1][j + 1] = p_sum[i][j + 1] + p_sum[i + 1][j] - p_sum[i][j] + num;
		}
	}

	// 구해야 하는 구간을 입력받고 구간합 출력하기
	for (int i = 0; i < M; i++) {
		int x1, y1, x2, y2;
		cin >> y1 >> x1 >> y2 >> x2;

		cout << p_sum[y2][x2] - p_sum[y1 - 1][x2] - p_sum[y2][x1 - 1] + p_sum[y1 - 1][x1 - 1] << '\n';

	}

	return 0;
}