Chapter 06 예측 과정

예측 과정에서는 시각이 $t_k$에서 $t_{k+1}$로 바뀔 때 추정값 $\hat{x}_k$가 어떻게 변하는지를 추측한다.

6.1 예측값 계산

$\hat{x}_{k+1}^-=A\hat{x}_{k}$
$P_{k+1}^-=AP_{k}A^T+Q$

6.2 예측과 추정의 차이

아래의 1차 저주파 통과 필터를 생각해보자.

$\bar{x}_k=\alpha\bar{x}_{k-1}+(1-\alpha)x_k$

1차 저주파 통과 필터에서는 새로운 추정값 계산에 직전 추정값 $\bar{x}_{k-1}$을 바로 사용한다. 즉 시각 $t_{k-1}$에서 $t_k$로 이동할 때 직전 추정값에 어떤 변화도 주지 않는다. 이제 칼만 필터의 추정값 계산식을 생각해보자.

$\hat{x}_k=\hat{x}_k^-+K_k(z_k-H\hat{x}_k^-)$

칼만 필터는 직전 추정값 $\hat{x}_{k-1}$을 사용하지 않고, 대신 예측값 $\hat{x}_k^-$을 사용하고 있다. 이 예측값은 직전 추정값을 이용해 구한 값이다. 예측값 계산식을 위 수식에 대입하면 아래와 같다.

$\hat{x}_k=A\hat{x}_{k-1}+K_k(z_k-H\hat{x}_k^-)$

위 식에서는 직전 추정값이 보인다. 즉 칼만 필터는 1차 저주파 통과 필터와 달리 추정값을 계산할 때 직전 추정값을 그대로 사용하지 않고 예측 단계를 거치게 된다. 이런 이유로 예측값을 사전 추정값(priori estimate), 추정값을 사후 추정값(posteriori estimate)라고 부른다.

6.3 추정값 계산식의 재해석

$\hat{x}_k=\hat{x}_k^-+K_k(z_k-H\hat{x}_k^-)$

위 식에서 $H\hat{x}_k^-$는 예측값으로 계산한 측정값을 뜻한다. 또한 $z_k-H\hat{x}_k^-$는 실제 측정값과 예측한 측정값의 차이인 측정값의 예측 오차가 된다. 따라서 위 수식은 칼만 필터는 측정값의 예측 오차로 예측값을 적절히 보정해서 최종 추정값을 계산한다라고 할 수 있다. 이때 칼만 이득은 예측값을 얼마나 보정할지 결정하는 인자가 된다.

이처럼 추정값 계산식을 예측값의 보정 관점에서 보면, 추정값의 성능에 가장 큰 영향을 주는 요인은 예측값의 정확성이다. 예측값이 부정확하면 칼만 이득을 잘 선정하더라도 추정값이 부정확할 수 밖에 없기 때문이다. 따라서 시스템 모델의 $A$와 $Q$가 실제 시스템과 많이 다르면 예측값은 부정확하게 된다.