5-3 2차 시스템 임계 감쇠인 경우

임계감쇠인 경우

$\xi=1$인 경우에 단위계단입력 $R(s)=1$에 대해 출력은 아래와 같다.
$C(s)=\frac{\omega_n^2}{(s+\omega_n)^2s}$

이 식을 Laplece 역변환하면 다음과 같다.

$c(t)=1-e^{-\omega_nt}(1+\omega_nt)$

과감쇠인 경우

$\xi>1$인 경우 단위계단입력에 대해 아래와 같다.

$C(s)=\frac{\omega_n^2}{(s+\xi\omega_n+\omega_n\sqrt{\xi^2-1})(s+\xi\omega_n-\omega_n\sqrt{\xi^2-1})s}$

위 식을 Laplace 역변환 하면 아래와 같다.

$c(t)=1+\frac{\omega_n}{2\sqrt{\xi-1}(\frac{e^{-s_1t}}{s_1}-\frac{e^{-s_2t}}{s_2})}$

여기서 $s1=(\xi+\sqrt{\xi^2-1})\omega_n$, $s2=(\xi-\sqrt{\xi^2-1})\omega_n$이다. $c(t)$의 두 항은 시간 t가 증가할 때 마다 감소하는 지수항이다. $s_1$, $s_2 > 1$기 때문에

또한 $\xi$가 1보다 더 커질 수록, 두 감소 지수항 중 한 개는 다른 한 개보다 훨씬 빨리 감소한다. 따라서 하나의 항은 무시될 수 있다. 즉, $-s_2$가 $-s_1$보다 $j\omega$축에 가까이 있으면, $-s_1$ 항을 무시해도 된다. 이렇게 빨리 감소하는 지수항이 사라지면 이 응답은 1차 시스템의 응답과 아래와 같이 비슷해진다.

$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{s_2}{s+s_2}$

$c(t)=1-e^{-(\xi-\sqrt{\xi_2-1}\omega_nt)}$

같은 $\xi$를 갖거나 $\omega_n$이 서로 다른 두 2차 시스템은 같은 오버슈트를 가지고, 또 같은 진동 형태를 나타낸다. 이러한 두 시스템에 대하여 같은 상대안정도를 가졌다고 한다.

$\xi$가 0.5와 0.8사이인 부족감쇠시스템은 임계감쇠시스템이나 과감쇠시스템보다 훨씬 빨리 최종값에 도달한다. 응답에 진동이 없는 시스템 중에서는 임계감쇠시스템이 가장 빠른 응답을 나타낸다. 과감쇠시스템은 어떤 입력에 대해서든지 항상 느린 응답을 나타낸다.

과도 응답 사양에 대한 정의

제어시스템의 성능 특성은 종종 단위계단입력에 대한 과도 응답의 견지에서 표시된다. 즉, 단위계단입력에 대한 응답이 알려지면, 모든 입력에 대한 응답을 수학적으로 계산할 수 있다.

단위계단입력에 대한 시스템의 과도 응답은 초기조건에 따라 달라진다. 여러 시스템의 과도응답을 편리하게 비교하기 위해, 시스템 초기의 출력과 출력의 모든 미분값이 0인 정지상태에 있다는 표준 초기조건을 보통 사용한다.

단위계단입력에 대한 제어시스템의 과도응답 특성을 표시하는데는 보통 다음 양이 사용된다.
1. 지연 시간($t_d$): 응답이 처음으로 최종값의 반이 되는데 걸리는 시간
2. 상승 시간($t_r$): 응답이 최종값의 10%~90% 등 상승하는데 걸리는 시간. 부족감쇠 2차시스템에서는 보통 0%~100%값이 사용
3. 피크 시간($t_p$): 응답이 오버슈트의 첫 번째 봉우리에 도달하는데 걸리는 시간
4. 최대 오버슈트($M_p$): 응답 곡선의 최대 봉우리 값에서 1을 뺀 값
5. 정착 시간($t_s$): 응답 곡선이 최종값의 절대 퍼센트(보통 2% or 5%) 내의 범위에 들어와서 머물게 되는데 걸리는 시간. 시정수와 관련이 있음

과도응답 사양에 대한 참고사항

진동이 허용되지 않는 경우를 제외하고는 과도응답은 충분히 빠르고 충분한 감쇠를 가지는 것이 바람직하다. 따라서 2차 시스템에서 바람직한 과도응답을 얻기 위해서는 감쇠비가 0.4에서 0.8정도이어야 한다. 감쇠비가 더 작으면 과도응답에 지나친 오버슈트가 발생하고, 커지면 시스템의 응답이 느려진다.

최대 오버슈트와 상승시간은 서로 상충한다. 즉, 최대 오버슈트와 상승시간을 동시에 작게 할 수는 없다.

2차 시스템과 과도응답 사양

2차 시스템에 대해 상승 시간, 피크 시간, 최대 오버슈트 및 정착 시간을 $\xi$와 $\omega_n$으로 구한다.

상승 시간

부족감쇠시스템에서 $c(t_r)=1$이라고 두고 상승시간을 아래와 같이 구하자.

$\cos{\omega_dt_r}+\frac{\xi}{\sqrt{1-\xi^2}}\sin{\omega_dt_r}=0$

$\tan{\omega_dt_r}=-\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}=-\frac{\omega_d}{\sigma}$

$t_r=\frac{1}{\omega_d}\tan^{-1}{\frac{\omega_d}{-\sigma}}=\frac{\pi-\beta}{\omega_d}$

여기서, $t_r$이 작으면 $\omega_d$가 커야 함을 알 수 있다.

피크 시간

$c(t)$를 시간에 대해 미분했을 때 0이 되는 값을 찾으면 된다.

$\frac{dc}{dt}=(\sin{\omega_dt_p})\frac{\omega_n}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_nt_p}=0$

$\sin{\omega_dt_p}=0$

$\omega_dt_p=0, \pi, 2\pi, ...$

여기서 오버슈트의 첫 번째 봉우리에 대한 시간이므로, $t_p=\frac{\pi}{\omega_d}$이다.

최대 오버슈트

최대 오버슈트는 피크 시간에서 발생하기 때문에 아래와 같이 최대 오버슈트를 구할 수 있다.
$M_p=c(t_p)-1=...=e^{-(\xi/\sqrt{1-\xi^2}\pi)}$

정착 시간

과도 응답 $c(t)$는 곡선 $1\plusmn(e^{\xi\omega_nt}/\sqrt{1-\xi^2})$는 단위계단입력에 대한 과도응답의 포락선이다. 이 포락선의 시정수는 $1/\xi\omega_n$이다. 즉 정착 시간은 감쇠비에 대한 함수이다.

$0<\xi<0.9$에 대해 2% 기준을 적용하면 정착 시간은 약 시정수의 4배가 되고, 5% 기준을 적용하면 시정수의 약 3배가 된다.

정착 시간은 시스템의 감쇠비와 비감쇠 고유진동수의 곱에 반비례한다. 즉 감쇠비는 보통 최대 오버슈트로부터 결정되기 때문에, 정착 시간은 주로 비감쇠 고유진동수 $\omega_n$에 의해 결정된다. 비감쇠 고유진동은 오버슈트를 변화시키지 않고 감쇠지속시간을 변화시킬 수 있다.

속도되먹임을 가진 서보시스템

위치신호와 속도신호가 입력쪽으로 되먹임되어 작동오차신호를 만든다고 하자. 전달함수는 다음과 같이 주어진다.

$\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{K}{Js^2+(B+KK_h)s+K}$

또한 이 시스템의 감쇠비는 다음과 같이 주어진다.

$\xi=\frac{B+KK_h}{2\sqrt(KJ)}$

비감쇠고유진동수 $\omega_n=\sqrt{K/J}$는 속도되먹임에 의해 영향을 받지 않는다.

단위계단입력에 대한 최대 오버슈트는 감쇠비로 조절할 수 있다. 따라서 속도되먹임상수 $K_h$를 조절하여 감쇠비가 0.4와 0.7 사이에 있게 함으로써 최대 오버슈트를 줄일 수 있다.

2차 시스템의 임펄스응답

$0\leq\xi<1$: $c(t)=\frac{\omega_n}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\xi\omega_nt}\sin{\omega_n\sqrt{1-\xi^2}t}$
$\xi=1$: $c(t)=\omega_n^2te^{-\omega_nt}$
$\xi>1$: $c(t)=\frac{\omega_n}{2\sqrt{\xi^2-1}}e^{-(\xi-\sqrt{\xi^2-1}\omega_nt)}-\frac{\omega_n}{2\sqrt{\xi^2-1}}e^{-(\xi+\sqrt{\xi^2-1}\omega_nt)}$

임계감쇠나 과감쇠의 경우 단위임펄스응답은 항상 0보다 크다. 부족감쇠의 경우 단위임펄스응답은 0 주위에서 진동한다.

이 해석으로부터 임펄스응답 $c(t)$의 부호가 변하지 않는다면, 이 시스템은 임계감쇠나 과감쇠임을 알 수 있다. 이 경우에는 계단응답에 오버슈트가 발생하지 않고, 단조 증가 혹은 감소하면서 일정 악ㅄ에 도달한다.

단위임펄스응답함수는 단위계단응답함수의 시간에 대한 도함수기 때문에 단위임펄스응답 곡선의 면적은 $1+M_p$이다.