6-2 근궤적선도

폐루프전달함수가 아래와 같이 주어져있다고 하자.

$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$

위 식의 분모가 0이되는,

$G(s)H(s)=-1$

이 되는 s값은 특정방정식의 근 또는 폐루프 극점이다. 위 식은 아래와 동일하다.

$\angle{G(s)H(s)}=180\degree(2k+1)$
$|G(s)H(s)|=1$

여기서 대부분의 경우는 분모 $G(s)H(s)$에 이득 파라미터 K를 포함하고 있고 아래의 형식으로 표현된다.

$G(s)H(s)=1+\frac{K(s+z_1)\cdots(s+z_m)}{(s+p_1)\cdots(s+p_n)}$

이 시스템의 근궤적은 이득 K가 0에서 무한대까지 변함에 따라 폐루프극점이 그리는 궤적이다.

근궤적선도에 대한 참고사항

$G(s)H(s)=\frac{K(s^m+b_1s^{m-1}+\cdots+b_m}{s^n+a_1s^{n-1}+\cdots+a_n}(n\geq m)$
인 시스템의 특정방정식은 s에 대한 n차 대수방정식이다. 분자의 차수가 분모의 차수보다 2 이상 낮으면, 계수 $a_1$은 특성방정식의 근의 합에 음의 부호를 붙인 값과 같고*, K와는 무관하다. 따라서 K가 증가함에 따라 몇 개의 근들이 근궤적 상에서 왼쪽으로 움직인다면, 다른 근들은 오른쪽으로 움직여야 한다**.

*고등학교때를 떠올려보자
**특성방정식의 근의 합은 K와 무관하게 일정한데 일부가 왼쪽으로 가면 나머지는 오른쪽으로 움직여야 한다.

또한 극점과 영점의 배치가 약간 바뀌면 근궤적의 형상이 크게 변할 수 있다.

$G(s)$의 극점과 $H(s)$의 영점과의 약분

$G(s)$와 $H(s)$의 공통 인수가 있으면, 서로 약분되어 특성방정식의 차수가 1 또는 2 이상 낮아진다. 단, 약분 후 근궤적선도를 그리면 축소된 특성방정식의 근을 나타낸다.

따라서 폐루프극점의 전체 집합을 얻기 위해서 약분 후 폐루프극점에 약분된 극점을 더하여야 한다. 약분된 극점은 시스템의 폐루프극점임을 잊지 말아야 한다.

전형적인 극점-영점 배치와 이에 상응하는 근궤적

근궤적의 형태는 개루프 극점과 영점의 상대적인 위치에 따라 달라진다. 개루프극점의 수가 유한 영점의 수보다 3이상 많으면 근궤적을 s평면의 오른쪽 반평면으로 들어가게하는 K값이 존재한다. 따라서 이 값에 대하여 시스템은 불안정하게 된다. 안정한 시스템이 되기 위해서는 모든 폐루프 극점이 s평면의 왼쪽 반평면에 있어야 한다.