연쇄 법칙 (Chain rule)

(Theorem) 만약 $f(u)$가 $u$에 대하여 미분 가능하고, $u=g(x)$이며 $g(x)$는 $x$에 대하여 미분 가능하다면 합성 함수 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$는 $x$에 대하여 미분 가능하고, 이때

가 성립한다. 즉,

이다.

(증명) 합성 함수 $y=f(g(x))$에 대하여 $u=g(x)$로 표기하고, $x$가 $\Delta x$만큼 증가한다고 했을 때, $u$는 $\Delta u$만큼 증가하고 $y$는 $\Delta y$만큼 증가한다고 하자. 그러면

라고 쓸 수 있다. 한편, $u=g(x)$가 $x=x_0$에서 미분 가능하므로 선형 근사와 미분 가능성의 관계에 의하여 $x=x_0$ 부근의 $u$의 변화는

로 표기된다. 이때 $\Delta x\rightarrow 0$일 때 $\epsilon_1\rightarrow 0$이다. 마찬가지로, $y=f(u)$가 $u=f(x_0)=u_0$에서 미분 가능하므로 $u=u_0$ 부근의 $y$의 변화는

로 표기된다. 이때 $\Delta u\rightarrow 0$일 때 $\epsilon_2\rightarrow 0$이다. 따라서

로 쓸 수 있다. 그러므로

이고, 이때 $\Delta x\rightarrow 0$일 때 $\epsilon_1, \epsilon_2\rightarrow 0$dlek. 따라서

가 성립한다. □