다변수 함수의 연쇄 법칙

(Theorem) $f(x,y)$가 미분 가능하고 $x=x(t)$, $y=y(t)$가 $t$에 대하여 미분 가능하면 합성 함수 $f=f(x(t),y(t))$는 $t$에 대하여 미분 가능하며

이다.
Proof) $t$가 $t_0$에서 $t_0+\Delta t$로 변화할 때의 변화량들을 각각 $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta f$라 하자. $f$가 $P_0=(x(t_0), y(t_0))$에서 미분 가능하므로

이고, 이때 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \rightarrow 0$이다. 이제 양변을 $\Delta t$로 나누면

인데, 여기서 $\Delta t\rightarrow 0$이면

을 얻는다. 이때 $\Delta t\rightarrow 0$이면 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$이므로 $\varepsilon_1, \varepsilon_2 \rightarrow 0$임을 이용했다. ■

이것은 고차원으로도 확장할 수 있다. 즉, $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$이 미분 가능하고 $x_1=x_1(t)$, $x_2=x_2(t)$, $\cdots$, $x_n=x_n(t)$가 $t$에 대하여 미분 가능하면 합성 함수 $f=f(x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n)$은 $t$에 대하여 미분 가능하며

이다.