다변수에서의 미분 가능성

다변수에서는 정의역이 직선이 아니므로 "미분 가능함"을 정의하는데 더 많은 것들이 필요하다. 2차원에서 정의된 함수 $z=f(x,y)$의 모양이 3차원 공간에 펼쳐지게 된다면 편미분을 정의할 때 $xz$와 $yz$ 평면으로 절단해서 절단면에서의 곡선에 대하여 그 기울기를 살펴보는 것으로 생각할 수 있다. 그런데 이 상황에서 함수가 "미분 가능"하려면 이러한 절단면이 정확하게 $x$ 혹은 $y$축에 평행하지 않고 약간 비껴간 상태에서도 "기울기"가 잘 정의될 수 있어야 합리적일 것이다. 그러나 앞의 글에 나온 예제와 같이, 원래의 $x$ 혹은 $y$축에 대한 편미분의 존재성이 약간 비껴간 절단면에서도 기울기가 정의된다는 것을 보장해주지 않는다. 즉 특정한 좌표축에 의존하는 $\partial f / \partial x$나 $\partial f / \partial y$의 존재성만으로는 미분 가능성을 정의하기에 충분하지 않은 것이다.

1차원 함수에서 함수 $y=f(x)$가 불연속이거나 특정한 점 $x_0$ 근처에서 함수의 모양이 뾰족할 경우 미분이 가능하지 않았다. 다시 말해서 1차원 함수를 무한히 확대했을 때 함수의 그래프가 일직선에 무한히 가깝게 되는 경우를 미분 가능하다고 했던 것이다. 2차원 함수 $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$에서도 유사한 성질이 필요한데, 특정한 점 $(x_0, y_0)$ 근처에서의 약간의 변화가 급작스러운 변화를 일으키지 않아야 "미분이 가능하다"는 취지에 부합할 것이다. 이를 기하학적으로 표현하면 함수를 $(x_0, y_0)$ 근처로 무한히 확대했을 때 함수의 그래프 $z=f(x,y)$가 평면에 무한히 가깝게 되는 경우를 미분 가능하다고 할 수 있을 것이다. 이러한 평면을 "접평면(tangent plane)"이라 부른다. 나중에 보이겠지만, $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$가 미분 가능할 때, 그래프 $z=f(x,y)$의 $(x_0, y_0)$에서의 접평면은

와 같이 주어진다.

1차원 함수에서 $y=f(x)$가 $x=x_0$에서 미분 가능하다면 $x$가 $x_0$에서 $x_0+\Delta x$까지 변화하는 동안 대응되는 $y$의 변화 $\Delta y = f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$는 $\Delta x$가 작을 수록 접선 위에서의 선형 근사 $\Delta L =f'(x_0)\Delta x$에 가까워진다. 다시 말해서, 두 양의 차이

에서, $\Delta x\rightarrow 0$일 때 $\varepsilon\rightarrow 0$이다. 즉, $y=f(x)$가 $x=x_0$에서 미분 가능하다면 $x$가 $x_0$에서 $x_0+\Delta x$까지 변화하는 동안 대응되는 $y$의 변화 $\Delta y$는

로 주어지며, 여기서 $\Delta x\rightarrow 0$일 때 $\varepsilon\rightarrow 0$이다.

이 결과를 2차원으로 확장하면 2차원에서의 미분 가능성을 정의할 수 있다.

(Definition) 함수 $z=f(x,y)$에 대하여 점 $(x_0, y_0)$에서의 편미분 $f_x(x_0, y_0)$와 $f_y(x_0, y_0)$가 존재하고 순간 변화 $\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)$가

로 표현되며 이때 $\Delta x, \Delta y\rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2\rightarrow 0$일 때, $f(x,y)$는 $(x_0, y_0)$에서 "미분 가능하다"라고 한다.

앞의 글에서 함수 $f(x,y)$가 $(x_0, y_0)$에서 연속이 되는 의미를 정의했다. 이제 위 정의로부터 바로 다음 결과를 얻는다.

(Theorem) 함수 $f(x,y)$가 $(x_0, y_0)$에서 미분 가능하면 $(x_0, y_0)$에서 연속이다.
Proof) 미분 가능성의 정의로부터 자명하다. ■

한편, 함수 $f(x,y)$가 연속이고 $f_x$ 및 $f_y$가 열린 공간에서 연속이면 $f(x,y)$는 열린 공간에서 미분 가능하다. 즉 미분 가능이 되기 위한 필요 충분 조건은 각 편미분이 연속이어야 된다는 것이다:

(Theorem) (증가 정리) 점 $(x_0, y_0)$을 포함하는 열린 공간 $R$에 대하여 함수 $f(x,y)$의 편미분 $f_x$, $f_y$가 $R$에서 정의되고 $f_x$, $f_y$가 $(x_0, y_0)$에서 연속이면 변화 $\Delta z=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)$는

으로 나타낼 수 있으며, 이때 $\Delta x, \Delta y\rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2\rightarrow 0$이다.
Proof) 점 $A(x_0, y_0)$를 중심으로 하는 직사각형 영역 $T\subset R$를 생각하자. $\Delta x$, $\Delta y$가 충분히 작아서 $B(x_0+\Delta x,y_0)$와 $C(x_0,y_0+\Delta y)$가 모두 $T$ 안에 있다고 하자. 그러면 $\Delta z$는

로 쓸 수 있다. 여기서 $\Delta z_1=f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)$, $\Delta z_2=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0+\Delta x, y_0)$이다. 이때 구간 $[x_0, x_0+\Delta x]$에서 $F(x)=f(x,y_0)$는 $x$에 대하여 미분 가능하며, 따라서 중간값 정리에 의해

를 만족하는 $c$가 $x_0$와 $x_0+\Delta x$ 사이에 존재한다. 마찬가지로, 구간 $[y_0, y_0+\Delta y]$에서 정의된 함수 $G(y)=f(x_0+\Delta x,y)$는 $y$에 대하여 미분 가능하며,

를 만족하는 $d$가 $y_0$와 $y_0+\Delta y$ 사이에 존재한다. 여기서 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$이면 $c\rightarrow x_0$, $d\rightarrow y_0$이다. 한편 $f_x$와 $f_y$가 $(x_0, y_0)$에서 연속이므로 두 값

은 모두 $\Delta x, \Delta y \rightarrow 0$일 때 각각 $0$으로 수렴한다. 그러므로

이며, 이때 $\Delta x, \Delta y\rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2\rightarrow 0$이다. ■

이와 같은 결과는 고차원으로도 확장할 수 있다. 만약 3차원에서 정의된 함수 $w=f(x,y,z)$에 대하여 편미분 $f_x$, $f_y$, $f_z$가 점 $(x_0, y_0, z_0)$에서 존재하고 각각 $(x_0, y_0, z_0)$에서 연속이면 함수 $w$의 순간 변화 $\Delta w=f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z)-f(x_0, y_0, z_0)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다:

이때 $\Delta x, \Delta y, \Delta z\rightarrow 0$이면 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\rightarrow 0$이다.