편미분과 미분 연산자

2차원 평면 좌표계, 즉 $\\mathbb{R}^2$에서의 편미분(partial derivative)에 대하여 알아보기 전에, 우선 $\\mathbb{R}^2$에서 함수의 수렴 및 연속이 어떻게 정의되는지 알아보자.

다변수에서는 정의역이 직선이 아니므로 "미분 가능함"을 정의하는데 더 많은 것들이 필요하다. 2차원에서 정의된 함수 $z=f(x,y)$의 모양이 3차원 공간에 펼쳐지게 된다면 편미분을 정의할 때 $xz$와 $yz$ 평면으로 절단해서 절단면에서의 곡선에 대하여 그 기울기

(Theorem) $f(x,y)$가 미분 가능하고 $x=x(t)$, $y=y(t)$가 $t$에 대하여 미분 가능하면 합성 함수 $f=f(x(t),y(t))$는 $t$에 대하여 미분 가능하며$$\\frac{df}{dt}=\\frac{\\partial f}{\\partia