상극한과 하극한의 대소 관계

앞에서 임의의 수열에 대하여 그것의 상극한과 하극한에 수렴하는 부분 수열이 언제나 존재한다고 했다. 상극한, 하극한 및 수렴하는 수열 사이에는 그 밖의 여러 가지 관계가 성립한다.

(Theorem) 실수 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n$은 $\{a_n\}$의 부분 수열이 수렴할 수 있는 가장 큰 값이고, $\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n$은 $\{a_n\}$의 부분 수열이 수렴할 수 있는 가장 작은 값이다.

(Theorem) 임의의 실수 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음이 성립한다:

(Theorem) 충분히 큰 $n$에 대하여 $a_n\le b_n$이 성립하면

이 항상 성립한다.

(Theorem) 실수 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음이 성립한다:

(Theorem) 실수 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음이 성립한다:
(1) $\{a_n\}$이 위로 유계인 것과 $\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n<\infty$는 동치이다.
(2) $\{a_n\}$이 아래로 유계인 것과 $\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n>-\infty$는 동치이다.

(Theorem) $M,m\in\mathbb{R}$과 실수 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음이 성립한다:
(1) 만약 $\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n<M$이면, 충분히 큰 $n$에 대하여 $a_n<M$이다. (다시 말해서, 기껏해야 유한 개의 $a_n$만이 $M$보다 크거나 같을 수 있다.)
(2) 만약 $\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n>m$이면, 무한히 많은 $n$에 대하여 $a_n>m$이다.

(Theorem) $M,m\in\mathbb{R}$과 실수 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음이 성립한다:
(1) 만약 $\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n>m$이면, 충분히 큰 $n$에 대하여 $a_n>m$이다. (다시 말해서, 기껏해야 유한 개의 $a_n$만이 $m$보다 작거나 같을 수 있다.)
(2) 만약 $\liminf_{n\rightarrow\infty}a_n<M$이면, 무한히 많은 $n$에 대하여 $a_n<M$이다.

일반적으로,

가 성립한다. 즉, 수열의 하극한과 상극한은 각각 최소, 최대의 집적점(cluster point)이다.

(Theorem) $\{a_n\}$이 유계인 수열이라 하자. 그러면 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 $k\ge N$이면

를 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.