상극한과 하극한

수열의 상극한(limit supremum)과 하극한(limit infimum)은 확장된 실수(extended real numer)에서 정의되는 수열에 대하여 그 "경계"(즉, 최소 상계와 최대 하계)의 극한이다.

(Definition) 실수에서의 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\{a_n\}$의 상극한은 확장된 실수 $\overline\mathbb{R}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$에서 정의되는 다음 극한이다:

또한 $\{a_n\}$의 하극한은 다음을 뜻한다:

이 정의가 확장된 실수 $\overline\mathbb{R}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$에서 성립하는 이유에 대해 살펴보자. 실수 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 두 개의 수열을 생각하자:

각 $s_n$과 $t_n$은 확장된 실수이며, 단조 성질($A\subseteq B$이면 $\sup A\le\sup B$ 및 $\inf A\ge\inf B$이 성립한다)에 의해서 $s_n$은 단조 감수 수열이며 $t_n$은 단조 증가 수열이다. 따라서 만약 각각이 유계(bounded)이면 극한을 가져야 한다. 혹은 유계가 아니면 $\pm\infty$가 된다. 따라서 상극한과 하극한은 확장된 실수에서 존재한다.

(Theorem) $\{a_n\}$이 실수 수열이고 $r\in\overline\mathbb{R}$이라 하자. 그러면

은

과 동치이다.

Ex. $a_n=(-1)^n$일 때 이 수열의 상극한과 하극한을 구해보자. 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $\sup_{k\ge n}(-1)^k=1$이고 $\inf_{k\ge n}(-1)^k=-1$이다. 그러므로

을 얻는다.

(Theorem) 실수 수열 $\{a_n\}$에 대하여 상극한과 하극한에 수렴하는 $\{a_n\}$의 부분 수열이 존재한다. 즉, $s = \limsup_{n \rightarrow \infty} a_n$, $t = \liminf_{n \rightarrow \infty} a_n$에 대하여

를 만족하는 $\{a_n\}$의 부분 수열 $\{a_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}$과 $\{a_{n_j}\}_{j\in\mathbb{N}}$이 존재한다.