수열과 수렴성

(Definition) 수열 $\{a_n\}$이 임의의 $\varepsilon >0$에 대하여 대응되는 자연수 $N$이 있어서 $ n>N \Rightarrow |a_n - L| < \varepsilon$ 을 만족하면 $\{a_n\}$이 $L$에 "수렴한다"라고 한다.

수렴하는 두 수열이 $N$번째 항 이상에서 대소 관계를 유지한다면 그 극한들끼리도 대소 관계를 유지한다. (Theorem) (수열의 비교 정리) 수렴하는 두 수열 $\{an\}$과 $\{bn\}$을 생각하자. 만약 어떤 자연수 $N$에 대하여

수열의 상극한(limit supremum)과 하극한(limit infimum)은 확장된 실수(extended real numer)에서 정의되는 수열에 대하여 그 "경계"의 극한이다.

앞에서 임의의 수열에 대하여 그것의 상극한과 하극한에 수렴하는 부분 수열이 언제나 존재한다고 했다. 상극한, 하극한 및 수렴하는 수열 사이에는 그 밖의 여러 가지 관계가 성립한다.