비교 판정법 (Comparison tests)

(Theorem) (비교 판정법; The comparison test) 무한 급수 $\sum a_n$, $\sum c_n$, $\sum d_n$이 각각 음이 아닌 항들의 합으로만 구성되어있다고 가정하자. 그리고 어떤 자연수 $N$에 대하여 $n\ge N$일 때

이 성립한다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다:

(1) $\sum c_n$이 수렴하면 $\sum a_n$도 수렴한다.
(2) $\sum d_n$이 발산하면 $\sum a_n$도 발산한다.

Proof) (1) $\sum c_n$이 수렴하는데 $n\ge N$일 때 $a_n \le c_n$ 이므로 $\sum c_n$의 부분합은 위로 유계(bounded from above)이다. 즉,

이 되는 $M$이 존재한다. 따라서 부분합 $A_n = \sum_{k=1}^{n}$는 비감소 수열(nondecreasing sequence) ${A_n}$을 이룬다. 비감소수열 ${A_n}$이 위로 유계이므로 ${A_n}$은 수렴한다. 따라서 $\sum a_n$은 수렴한다.
(2) $\sum a_n$이 수렴한다고 가정하자. $n\ge N$일 때 $d_n \le a_n$이므로, $\sum d_n$의 부분합은 위로 유계이고

이 되는 $M^*$이 존재한다. 따라서 부분합 $D_n = \sum_{k=1}^{n}$는 비감소 수열 ${D_n}$을 이룬다. 비감소수열 ${D_n}$이 위로 유계이므로 ${D_n}$은 수렴한다. 따라서 $\sum d_n$은 수렴한다. 이것의 역이 참이므로, $\sum d_n$이 발산한다면 $\sum a_n$은 발산한다. □

Ex. 다음 급수

의 수렴성을 조사해보자. 일반항을 살펴보면

인데, $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$이 발산하므로 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{5}{5n-1}$는 발산한다.

Ex. 다음 급수

의 수렴성을 조사해보자. 일반항을 살펴보면 $n \ge 1$일 때

이 성립한다. 그런데

이므로 급수 $\sum_{n=1}^\infty \left[ -\left(1 - \frac{3}{n}\right)^n \right]$은 발산하게 된다. 따라서 비교 판정법에 의해서 급수 $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left(1 - \frac{3}{n}\right)^n$은 발산한다.

Ex. 다음 급수

의 수렴성을 조사해보자. $x>0$일 때 $\ln x < x$이므로 $n \ge 1$에 대하여

이 성립한다. 그런데 $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}$은 수렴하므로 급수 $\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^3}$도 수렴한다.

Ex. 다음 급수

의 수렴성을 조사해보자. 우선 $n\ge 2$일 때 $(n-1)^2 > 1$이므로

로부터

을 얻는다. 여기서 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$는 발산하므로 $\sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}\right)$ 역시 발산한다.