무한 급수

무한 급수

가 $L$에 "수렴한다"는 것은 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 다음을 만족하는 자연수 $N$이 존재한다는 뜻이다: 임의의 자연수 $n > N$에 대하여

이 성립한다. 즉, 수열 ${a_n}$의 부분합 $s_n = \sum_{k=1}^{n} a_n = a_1+\cdots + a_n$에 대하여 $\lim_{n \rightarrow \infty} = L$이 된다. 만약 $\sum a_n$이 수렴하지 않으면 "발산한다"라고 정의한다.

(Theorem) ($n$항 판정법; The $n$-th term test for divergence) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴한다면 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$이다.

Proof) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하므로 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S$라 놓자. 그러면 부분합

에 대하여 $\lim_{n\rightarrow 0} S_n = S$이다. 한편 $a_n = S_n - S_{n-1}$이므로

으로써 성립한다. □

Ex) 급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\cos\frac{1}{n}$은 발산한다. 왜냐하면 $\lim_{n \rightarrow \infty} \cos\frac{1}{n}=1$이 되어 $0$이 아니기 때문이다.