상계와 하계의 여러 가지 성질

zeta_xiv·2025년 3월 1일
Real Analysis수학실해석학

실수의 완비성과 최소 상계의 성질

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상계(supremum)와 하계(infimum)의 여러 가지 성질을 알아보고, 단조 성질(monotone property)을 증명해보자.

(Theorem) (최소 상계에 대한 근삿값 정리) E⊂RE\subset \mathbb{R}이라 하고 ε>0\varepsilon>0이라 하자. 그러면 다음이 성립한다:
(1) EE가 유한한 최소 상계 sup⁡E\sup E를 갖는다면 sup⁡E−ε<a≤sup⁡E\sup E-\varepsilon<a\le\sup E를 만족하는 a∈Ea \in E가 존재한다.
(2) EE가 유한한 최대 하계 inf⁡E\inf E를 갖는다면 inf⁡E≤a<inf⁡E+ε\inf E\le a < \inf E+\varepsilon을 만족하는 a∈Ea \in E가 존재한다.
Proof) (1) ε>0\varepsilon >0이라 하고 M=sup⁡EM=\sup E라 하자. M−εM-\varepsilon는 EE의 상계가 아니므로 M−ε<aM-\varepsilon< a인 원소 a∈Ea\in E가 존재한다. 그러므로 M−ε<a≤MM-\varepsilon < a \le M이 성립한다.
(2) ε>0\varepsilon >0이라 하고 m=inf⁡Em=\inf E라 하자. m+εm+\varepsilon는 EE의 하계가 아니므로 m+ε>am+\varepsilon>a인 원소 a∈Ea\in E가 존재한다. 그러므로 m+ε>a≥mm+\varepsilon > a \ge m이 성립한다. ■

(Theorem) E∈ZE\in\mathbb{Z}가 최소 상계를 갖는다면 sup⁡E∈E\sup E\in E이다. 즉 임의의 정수 집합 EE에 최소 상계가 존재한다면 그 값은 반드시 정수이며 EE에 포함된다.
Proof) 유한한 최소 상계를 갖는 정수의 부분집합 EE에 대하여 s=sup⁡Es=\sup E라 놓으면 최소 상계에 대한 근삿값 정리에 의해 s−1<x0≤ss-1<x_0\le s인 x0∈Ex_0\in E가 존재한다. 만약 x0=sx_0=s이면 s∈Es\in E이다. 만약 x0≠sx_0\ne s이면 s−1<x0<ss-1<x_0< s인 상황에서 다시 한 번 근삿값 정리를 적용하면 x0<x1<sx_0<x_1 <s인 x1∈Ex_1\in E를 잡을 수 있다. (왜냐하면 x1=sx_1=s이면 x0,s∈Ex_0, s\in E이어야 하는데, s−x0<1s-x_0<1이므로 이는 EE가 정수의 부분집합이라는 가정에 모순이기 때문이다.) 이제 부등식에서 x0x_0를 빼면 0<x1−x0<s−x00<x_1-x_0 <s-x_0가 되는데, −x0<1−s-x_0<1-s로부터 0<x1−x0<s+(1−s)=10<x_1-x_0 <s+(1-s)=1을 얻게 된다. 따라서 x1−x0∈Z∩(0,1)x_1-x_0\in\mathbb{Z}\cap(0,1)이어야하는데, Z∩(0,1)=∅\mathbb{Z}\cap(0,1)=\emptyset이므로 이러한 상황은 불가능하다. 따라서 x0=sx_0=s이고 s∈Es\in E인 상황만이 가능하다. ■

(Theorem) (반사 성질) 공집합이 아닌 S⊇RS\supseteq\mathbb{R}에 대하여 SS에 대한 반사(reflection)를 −S={−s∣s∈S}-S=\{-s|s\in S\}로 정의하면

sup⁡(−S)=−inf⁡S ,inf⁡(−S)=−sup⁡S\sup(-S)=-\inf S\,,\quad \inf(-S)=-\sup S

이 성립한다.
Proof) α=sup⁡(−S)\alpha=\sup (-S)라 놓자. 그러면 임의의 s∈Ss\in S에 대하여 −s≤α-s\le \alpha이므로 −α-\alpha는 SS의 하계이다. 한편 uu를 SS의 하계라 하면 u≤su\le s이므로 −s≤−u-s\le -u가 되어 −u-u는 −S-S의 상계이므로 α≤−u\alpha \le -u이어야 한다. 즉, u≤−αu \le -\alpha이다. 따라서 −α-\alpha는 SS의 최소 하계 inf⁡S\inf S이다. 그러므로 α=−inf⁡S\alpha = -\inf S이다.
마찬가지로, β=inf⁡(−S)\beta = \inf(-S)라 놓자. 그러면 임의의 s∈Ss\in S에 대하여 β≤−s\beta \le -s이므로 −β-\beta는 SS의 상계이다. 한편 vv를 SS의 상계라 하면 s≤vs\le v이므로 −v≤−s-v\le -s가 되어 −v-v는 −S-S의 하계이므로 −v≤β-v\le\beta이어야 한다. 즉, −β≤v-\beta \le v이다. 따라서 −β-\beta는 SS의 최소 상계 sup⁡S\sup S이다. 그러므로 β=−sup⁡S\beta = -\sup S이다. ■

(Lemma) 실수 R\mathbb{R}의 부분집합 AA와 BB에 대하여 집합 A+BA+B와 A−BA-B를 각각 A+B={a+b∣a∈A,b∈B}A+B=\{a+b|a\in A, b\in B\}, A−B={a−b∣a∈A,b∈B}A-B=\{a-b|a\in A, b\in B\}로 정의하면 다음이 성립한다:
(1) sup⁡(A+B)=sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B)=\sup A+\sup B,
(2) sup⁡(A−B)=sup⁡A−inf⁡B\sup(A-B)=\sup A-\inf B.
Proof) (1) a∈Aa\in A, b∈Bb\in B에 대하여 a+b∈A+Ba+b\in A+B이다. 따라서 a+b≤sup⁡(A+B)a+b\le\sup(A+B)이다. 여기서 a≤sup⁡(A+B)−ba\le \sup(A+B)-b이므로 sup⁡(A+B)−b\sup(A+B)-b는 AA의 상계가 되어 sup⁡A≤sup⁡(A+B)−b\sup A\le\sup(A+B)-b이고, b≤sup⁡(A+B)−sup⁡Ab\le \sup(A+B)-\sup A이므로 sup⁡(A+B)−sup⁡A\sup(A+B)-\sup A는 BB의 상계가 되어 sup⁡B≤sup⁡(A+B)−sup⁡A\sup B\le \sup(A+B)-\sup A, 즉 sup⁡A+sup⁡B≤sup⁡(A+B)\sup A+\sup B\le\sup(A+B)를 얻는다. 한편 a≤sup⁡Aa\le\sup A, b≤sup⁡Bb\le\sup B로부터 a+b≤sup⁡A+sup⁡Ba+b\le\sup A+\sup B이고, 따라서 sup⁡A+sup⁡B\sup A+\sup B는 A+BA+B의 상계가 되어 sup⁡(A+B)≤sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B)\le\sup A+\sup B를 얻는다. 그러므로 sup⁡(A+B)=sup⁡A+sup⁡B\sup(A+B)=\sup A+\sup B이다.
(2) (1)로부터 sup⁡(A−B)=sup⁡A+sup⁡(−B)=sup⁡A−inf⁡B\sup(A-B) = \sup A+\sup(-B)=\sup A-\inf B이다. ■

cf. 함수 집합에서 이와 유사한 다음과 같은 성질이 있다: ff와 gg가 유계인 함수라 하자. 즉, 임의의 M∈RM\in\mathbb{R}과 x∈E⊆Rx\in E\subseteq \mathbb{R}에 대하여 ∣f(x)∣<M|f(x)|<M이다. 그러면 모든 x∈Ex\in E에 대하여 sup⁡(f(x)+g(x))≤sup⁡f(x)+sup⁡g(x)\sup(f(x)+g(x))\le \sup f(x) + \sup g(x) 및 inf⁡(f(x)+g(x))≥inf⁡f(x)+inf⁡g(x)\inf(f(x)+g(x))\ge \inf f(x) + \inf g(x)가 성립한다.

(Lemma) AA와 BB가 양의 실수만으로 이루어진 집합이고, AB={ab∣a∈A,b∈B}AB = \{ab|a\in A, b\in B\}라 정의하면

sup⁡AB=sup⁡Asup⁡B\sup AB = \sup A \sup B

가 성립한다.
Proof) a∈Aa\in A이고 b∈Bb\in B이면 ab∈ABab\in AB이므로 ab≤sup⁡ABab\le \sup AB이다. 따라서 a≤1bsup⁡ABa\le\frac{1}{b}\sup AB이므로 1bsup⁡AB\frac{1}{b}\sup AB는 AA의 상계가 되어 sup⁡A≤1bsup⁡AB\sup A\le\frac{1}{b}\sup AB이고, b≤1sup⁡Asup⁡ABb\le\frac{1}{\sup A}\sup AB이므로 1sup⁡Asup⁡AB\frac{1}{\sup A}\sup AB는 BB의 상계가 되어 sup⁡B≤1sup⁡Asup⁡AB\sup B\le\frac{1}{\sup A}\sup AB, 즉 sup⁡Asup⁡B≤sup⁡AB\sup A\sup B\le \sup AB를 얻는다. 한편 a≤sup⁡Aa\le \sup A, b≤sup⁡Bb\le \sup B로부터 ab≤sup⁡Asup⁡Bab\le\sup A\sup B이므로 sup⁡Asup⁡B\sup A\sup B는 ABAB의 상계가 되어 sup⁡AB≤sup⁡Asup⁡B\sup AB \le\sup A\sup B를 얻는다. 그러므로 sup⁡AB=sup⁡Asup⁡B\sup AB = \sup A \sup B이다. ■

집합이 양수들만으로 이루어져있지 않다면 위의 정리는 성립하지 않는다. 이를테면 A=[−2,1]A=[-2,1], B=[−2,1]B=[-2,1]이면 AB=[−2,4]AB=[-2,4]이므로 sup⁡Asup⁡B=1\sup A \sup B=1이지만 sup⁡AB=4\sup AB=4이다.

한편 집합의 반사(reflection)를 이용하여 최소 상계 성질의 반대인 최대 하계 성질을 증명할 수 있다:

(Theorem) (최대 하계 성질) 실수의 모든 공집합이 아닌 부분집합이 하계(lower bound)를 가지면 반드시 실수인 최대 하계(infimum)를 갖는다.
Proof) 공집합이 아닌 실수의 부분 집합 SS가 하계 mm을 갖는다고 하자. 즉 모든 s∈Ss\in S에 대하여 m≤sm\le s이고, 따라서 −s≤−m-s\le -m이다. 즉 −S-S는 공집합이 아니며 상계 −m-m을 가지므로 최소 상계 성질에 의해 sup⁡(−S)=α\sup(-S)=\alpha가 존재해야 한다. 즉 −s≤α-s\le\alpha이므로 −α≤s-\alpha\le s가 되어 −α-\alpha는 SS의 하계이다. 또한 α≤−m\alpha\le -m에서 m≤−αm\le -\alpha이므로 −α-\alpha는 SS의 최대 하계이다. ■

(Theorem) (단조 성질) 두 집합 A,B∈RA, B\in \mathbb{R}가 공집합이 아니며 A⊆BA\subseteq B라고 하자. 그러면 다음이 성립한다:
(1) BB가 최소 상계를 가지면 A도 최소 상계를 가지며 sup⁡A≤sup⁡B\sup A \le \sup B이다.
(2) BB가 최대 하계를 가지면 A도 최대 하계를 가지며 inf⁡B≤inf⁡A\inf B \le \inf A이다.
Proof) (1) A⊆BA\subseteq B이므로 BB의 임의의 상계는 AA의 상계가 된다. 따라서 sup⁡B\sup B가 존재하면 그것이 AA의 상계가 된다. 그러므로 최소 상계 성질에 의해 sup⁡A\sup A가 존재해야하며 sup⁡A≤sup⁡B\sup A\le\sup B이다.
(2) A⊆BA\subseteq B이므로 BB의 임의의 하계는 AA의 하계가 된다. 따라서 inf⁡B\inf B가 존재하면 그것이 AA의 하계가 된다. 그러므로 최대 하계 성질에 의해 inf⁡A\inf A가 존재해야하며 inf⁡B≤inf⁡A\inf B\le \inf A이다. ■

(Lemma) (1) xx가 집합 E⊂RE\subset\mathbb{R}의 유계이고 x∈Ex\in E이면 xx는 EE의 최소 상계이다.
(2) 실수의 부분 집합 EE가 E=A∪BE=A\cup B이다. EE가 최소 상계 sup⁡E\sup E를 가지며 AA와 BB가 공집합이 아니면 sup⁡A\sup A와 sup⁡B\sup B가 존재하며, sup⁡E\sup E는 sup⁡A\sup A와 sup⁡B\sup B 둘 중 하나와 같다.
Proof) (1) xx가 EE의 유계이고 x∈Ex\in E라 하자. 그러면 EE의 임의의 유계 mm에 대하여 x≤mx\le m이다. 따라서 정의에 의하여 x=sup⁡Ex=\sup E이다.
(2) A⊆EA\subseteq E이므로 EE의 임의의 상계는 AA의 상계이다. AA가 공집합이 아니고 상계를 가지므로 AA의 최소 상계 sup⁡A\sup A가 존재한다. 마찬가지로 sup⁡B\sup B가 존재한다. m=max⁡{sup⁡A,sup⁡B}m=\max\{\sup A,\sup B\}라 놓으면 x∈Ex\in E일 때 x≤mx\le m이다. 그러면 mm은 AA와 BB의 유계이므로 EE의 유계가 되어 m≤sup⁡Em\le\sup E이다. 만약 m<sup⁡Em<\sup E이면 최소 상계의 근삿값 정리에 의해 m<m′≤sup⁡Em<m'\le\sup E를 만족하는 m′∈Em'\in E가 존재해야한다. 그러면 m′∈Am'\in A 또는 m′∈Bm'\in B인데, 이것은 m′m'가 AA 또는 BB의 유계라는 사실에 모순이다. ■

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