실수의 완비성과 최소 상계의 성질

실수 체계(real number system)의 정의는 크게 세 가지 단계로 이루어질 수 있는데, 대수적 성질, 순서(ordering) 공리, 그리고 완비성(completeness)이다.

(Definition) 실수의 부분 집합 $R$에 대하여 $R$의 임의의 원소 $r$이 언제나 $r\le M$인 실수 $M$이 존재하면 $M$은 $R$의 "상계(upper bound)"이다. 만약 $A$가 $R$의 상계이고 $A$보다 더 작은 상계가 존재하지 않는다면

상계(supremum)와 하계(infimum)의 여러 가지 성질을 알아보고, 단조 성질(monotone property)을 증명해보자.