최소 상계(sup) 및 최소 상계 성질 (Least upper bound property)

대학 1학년 미적분학(calculus)이나 수리물리학보다는 엄밀하지만, 대학 2학년 실해석학(real analysis)보다는 엄밀하지 않은 정도로만 다룹니다. 미적분학의 기본 정리들을 증명하기 위한 최소한의 도구를 갖추는 것만을 목표로 합니다.

(Definition) 실수의 부분 집합 $R$에 대하여 $R$의 임의의 원소 $r$이 언제나 $r\le M$인 실수 $M$이 존재하면 $M$은 $R$의 "상계(upper bound)"이다. 만약 $A$가 $R$의 상계이고 $A$보다 더 작은 상계가 존재하지 않는다면 $A$는 $R$의 "최소 상계(least upper bound 혹은 supremum)"라고 하며, 기호로 $\sup A$로 쓴다.

어떤 수 $a$가 집합 $A$의 임의의 상계보다 크면 $a$ 또한 $A$의 상계가 되어야 함은 자명하다. 다음 보조 정리에 의해서 임의의 집합은 단 하나의 최소 상계만을 가질 수 있음을 알 수 있다.

(Lemma) 만약 어떤 집합이 최소 상계(supremum)를 갖는다면, 그것은 해당 집합의 유일한 최소 상계이다.

Proof) $s_1$과 $s_2$가 집합 $E$의 최소 상계라고 하자. 그러면 $s_1$과 $s_2$는 모두 집합 $E$의 상계이므로 $s_1\le s_2$이고, 또한 $s_2\le s_1$이다. 따라서 $s_1 = s_2$이다. ■

(Definition) 실수의 부분 집합 $R$에 대하여 R의 임의의 원소 $r$이 언제나 $N\le r$인 실수 $N$이 존재하면 $N$은 $R$의 "하계(lower bound)"이다. 만약 $B$가 $R$의 하계이고 $B$보다 더 큰 하계가 존재하지 않는다면 $B$는 $R$의 "최대 하계(greatest lower bound 혹은 infimum)"라고 하며, 기호로 $\inf R$로 쓴다.

이제 앞선 글에서 언급한 "실수의 완비성"을 "최소 상계 정리"의 형태로 나타내고자 한다. 정확히는 이들은 모두 공리(axiom)이며 정리(theorem)가 아니지만, 여기서는 정리라고 부르자. 실수의 조밀성과 데데킨트 절단을 이용하여 실수의 완비성을 이끌어내고, 다시 역으로 완비성으로부터 실수의 조밀성을 이끌어내어보자.

(Theorem) (데데킨트의 정리) 실수 집합 전체 $\mathbb{R}$의 임의의 절단 $L|R$을 생각하자. 그러면 $L|R$을 생성하는 단 하나의 유일한 실수가 존재한다.

Proof) 우선 유일성을 증명하자. 만약 두 개의 서로 다른 실수 $\alpha$와 $\beta$가 $L|R$을 생성하고 $\alpha < \beta$이면 실수의 조밀성에 의해 $\alpha<c<\beta$를 만족하는 실수 $c$가 최소한 한 개 존재한다. $c<\beta$이므로, $c\in L$ 이어야한다. 그리고 $\alpha<c$이므로 $c\in R$이어야 한다. 따라서 $c\in L\cap R$이다. 그런데 절단의 정의에 의하여 $L\cap R=\emptyset$이므로 이는 모순이다. 따라서 $\alpha=\beta$로써 유일하다.
  이제 존재성을 증명하자. 우선 $\alpha=\sup L$이라 놓고, $u_1<\alpha$인 실수 $u_1$을 생각하자. 만약 $u_1\in R$이면, 최소한 하나의 $s\in L$은 $u_1< s\le \alpha$를 만족해야 한다. (그렇지 않고서 모든 $s\in L$에 대하여 $u_1\ge s$이면 $u_1$은 $L$의 상계가 되는데, 이는 $u_1<\sup L$이라는 뜻으로 일어날 수 없는 일이기 때문이다.) 그러나 $R$의 모든 원소는 $L$보다 커야하므로 이는 모순이다. 따라서 $u_1\in L$이다. 또한 $\alpha<u_2$인 실수 $u_2$를 생각하면, 마찬가지의 논리에 의하여 $u_2\in R$이다. 따라서 $\alpha$는 절단 $L|R$을 생성한다. ■

(Corollary) $L|R$을 실수 전체 $\mathbb{R}$의 절단이라고 하자. 그러면 $L$은 그 자신 안에 최대의 수를 포함하거나, 그렇지않으면 $R$이 그 자신 안에 최소의 수를 포함해야 한다.

Proof) 데데킨트의 정리에 의하여 모든 $a\in L$에 대하여 $a\le \gamma$이거나, 또는 모든 $b\in R$에 대하여 $\gamma\le b$인 단 하나의 유일한 실수 $\gamma$가 존재한다.

이제 최소 상계 성질(least upper bound property)를 증명하자.

(Theorem) (최소 상계 성질; 실수의 완비성) 실수 $\mathbb{R}$의 모든 공집합이 아닌 부분집합이 상계(upper bound)를 가지면 반드시 실수인 최소 상계(supremum)를 갖는다.

Proof) 공집합이 아닌 $S\subseteq\mathbb{R}$이 상계를 갖는다고 가정하자. 이제 $S$에 대하여 정의되는 집합 $L = \{\alpha | \exist \alpha < x\text{ such that } x\in S\}$을 생각하자. 그리고 이것의 여집합인 $R = L^c$를 생각하자. 집합 $L$의 정의에 의하여, $L$의 모든 원소는 적어도 하나의 $S$의 원소보다는 작아야 한다. 따라서 어떠한 $L$의 원소도 $S$의 상계가 될 수 없다. 집합 $R$의 정의에 의하여, 모든 $x\in R$는 어떠한 $S$의 원소보다도 크거나 같아야 한다. (그렇지 않으면 $x<s$를 만족하는 $s\in S$가 존재하게 되는데, 그러면 $x\in L$이 되어 모순이다.) 따라서 $R$의 모든 원소는 집합 $S$의 상계가 된다. 그러므로 $S$의 최소 상계 $\sup S$의 존재성에 대한 증명은 $R$이 최소 원소를 갖는다는 것을 증명하는 것으로 충분하다.
  이제 $L$과 $R$이 데데킨트 정리의 조건들을 만족함을 보이자. (그럼으로써 $L|R$이 $\mathbb{R}$의 절단임을 보일 것이다.) $S$는 공집합이 아니므로 $s\in S$이면 $s-1\in L$이다. 또한 가정에서 $S$는 상계를 갖는다고 했으므로 $u$가 $S$의 상계이면 $u\in R$이다. 따라서 $L$과 $R$ 어느 것도 공집합이 아니며, $L\cap R=\emptyset$이다. 만약 $\alpha\in L$이고 $\beta\in R$이면 $\alpha<x$를 만족하는 $x\in S$가 존재하며, $x\le\beta$이어야 한다. 따라서 $\alpha<\beta$이다. 그러므로 $L$과 $R$은 실수 전체 집합 $\mathbb{R}$에 대한 절단 $L|R$을 이룬다.
  만약 $\alpha\in L$이면 $\alpha<x$를 만족하는 $x\in S$가 존재한다. 그러면 실수는 조밀하므로 $\alpha<\alpha'<x$인 $\alpha'$이 존재한다. 그러므로 $\alpha'\in L$이다. 따라서 $L$의 어떠한 원소도 $L$의 최대 원소가 될 수 없다. 따라서 바로 위의 따름정리에 의해 $R$은 반드시 최소 원소를 그 안에 포함하여야 한다. $S$는 위로 상계이므로, $R$의 최소 원소가 $\sup S$가 된다. ■

최소 상계 성질의 한 가지 중요한 응용은 아르키메데스 성질(Archimedean property)이다.

(Theorem) (아르키메데스 성질) 모든 $x\in\mathbb{R}$에 대하여 $x<n$인 자연수 $n$이 존재한다.

Proof) 만약 그런 자연수가 존재하지 않으면 모든 자연수 $n$에 대하여 $n\ne x$이어야 한다. 따라서 $x$는 자연수 집합 $\mathbb{N}$의 상계이다. 최소 상계 성질에 의하여 공집합이 아닌 $\mathbb{N}$은 최소 상계(supremum) $u\in\mathbb{R}$를 갖는다. 이제 $u-1<u$이므로 $u-1$은 $\mathbb{N}$의 상계가 될 수 없다. 따라서 $u-1<m$을 만족하는 자연수 $m$이 존재해야만 한다. 즉, $u<m+1$이다. 그런데 $m+1\in\mathbb{N}$이므로 이것은 $u$가 $\mathbb{N}$의 상계라는 것에 모순이다. 따라서 $x<n$인 자연수 $n$이 반드시 존재한다. ■

아르키메데스 성질을 다음과 같이 표현할 수도 있다: $a, b >0$인 실수 $a$와 $b$에 대하여 $b<na$를 만족하는 자연수 $n$이 반드시 존재한다.

(Lemma) 어떤 실수 $a>0$에 대해서도 $1/n<a$를 만족하는 자연수 $n$이 존재한다.
Proof) 아르키메데스 성질에 의해서 두 실수 $1$과 $a$에 대하여 $1<na$를 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. 따라서 $1/n<a$를 만족하는 자연수 $n$이 존재한다. ■

(Theorem) (유리수의 조밀성) 유리수는 실수 안에서 조밀하다. 즉, $a<b$를 만족하는 두 실수 $a$와 $b$에 대하여 $a<q<b$를 만족하는 유리수 $q$가 존재한다.
Proof) 임의의 두 실수 $a$, $b$가 $a<b$를 만족한다고 하자. 그러면 $a$와 $b$사이에는 $b-a$ 만큼의 간격이 존재한다. 아르키메데스 성질에 의하여, $b-a$의 크기에 관계 없이 $1<n(b-a)$를 만족하는 자연수 $n$이 존재해야만 한다. 이제 $na+1<nb$로부터 $na$와 $nb$ 사이에 반드시 하나의 정수가 존재함을 알 수 있다. 그런 정수들 중에서 가장 작은 정수를 $m$이라 하면 $na<m$을 만족한다. 즉,

을 만족한다. 따라서

가 만족된다. 그런데 $na<m$이므로 이것은

를 의미한다. 따라서 $a<m/n<b$이므로 $q=m/n$인 유리수가 $a$와 $b$ 사이에 존재한다. ■

(Theorem) (무리수의 조밀성) 무리수 또한 실수 안에서 조밀하다. 즉, $a<b$를 만족하는 두 실수 $a$와 $b$에 대하여 $a<\xi<b$를 만족하는 무리수 $\xi$가 존재한다.
Proof) 앞의 예제에서 $\sqrt{2}$가 무리수임을 보았다. $a$, $b$가 실수이고 $a<b$이면 $a-\sqrt{2}<b-\sqrt{2}$이다. 그러므로 위의 정리로부터 $a-\sqrt{2}<q<b-\sqrt{2}$를 만족하는 유리수 $q$가 존재한다. 즉, $a<q+\sqrt{2}<b$인데 $\xi=q+\sqrt{2}$는 무리수이므로 $a<\xi<b$를 만족하는 무리수 $\xi$가 존재한다. ■