다중극 전개는 좌표계의 원점에 의존한다. 즉, 좌표계의 원점이 바뀌면 다중극 전개 자체가 달라지게 된다.
이를테면, 전하 q q q
V ( r ⃗ ) = 1 4 π ε 0 q r V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r} V ( r ) = 4 π ε 0 1 r q 로 주어진다.
이 전하가 그림과 같이 원점으로부터 y y y d ⃗ \vec{d} d r ≫ d r\gg d r ≫ d
V ( r ⃗ ) = 1 4 π ε 0 q η = 1 4 π ε 0 q ∣ r ⃗ − d ⃗ ∣ = 1 4 π ε 0 q r 2 + d 2 − 2 r d cos θ = q 4 π ε 0 ( 1 r − d cos θ r 2 − d 2 2 r 3 ( 3 cos 2 θ − 1 ) + ⋯ ) = 1 4 π ε 0 q r − 1 4 π ε 0 q d ⃗ ⋅ r ^ r 2 + ⋯ \begin{aligned} V(\vec{r}) &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\eta} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{d}|}\\ &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{\sqrt{r^2+d^2-2rd\cos\theta}}\\ &= \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} -\frac{d\cos\theta}{r^2} -\frac{d^2}{2r^3} (3\cos^2\theta-1)+\cdots \right)\\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r} -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\vec{d}\cdot\hat{r}}{r^2} +\cdots \end{aligned} V ( r ) = 4 π ε 0 1 η q = 4 π ε 0 1 ∣ r − d ∣ q = 4 π ε 0 1 r 2 + d 2 − 2 r d cos θ q = 4 π ε 0 q ( r 1 − r 2 d cos θ − 2 r 3 d 2 ( 3 cos 2 θ − 1 ) + ⋯ ) = 4 π ε 0 1 r q − 4 π ε 0 1 r 2 q d ⋅ r ^ + ⋯ 이와 같이 전하 분포에서 원점의 변경은 전개 자체에 영향을 미친다. 이때 전체 전개의 첫 번째 항인 단극항(monopole term)은 그 형태가 변하지 않으며, 원점이 변하면 단극항 뒤의 전개가 변하게 됨을 알 수 있다.
따라서 일반적으로 임의의 전하 분포에서 전개의 두 번째 항인 쌍극자항(dipole term) 이상의 한들은 원점이 어디냐에 따라 그 형태가 달라져야 한다. 그러나 항상 그런 것은 아닌데, 만약 계의 총전하가 0 0 0
임의의 전하 분포에 대하여 전기 쌍극자 모멘트는 다음과 같이 주어진다:
p ⃗ = ∫ r ⃗ ′ ρ ( r ⃗ ′ ) d τ ′ . \vec{p} = \int \vec{r}'\rho(\vec{r}')d\tau'\,. p = ∫ r ′ ρ ( r ′ ) d τ ′ .
여기서 만약 그림과 같이 원점의 위치가 a ⃗ \vec{a} a d τ ′ d\tau' d τ ′ r ⃗ ′ \vec{r}' r ′ r ⃗ ′ − a ⃗ \vec{r}'-\vec{a} r ′ − a x ˉ y ˉ \bar{x}\bar{y} x ˉ y ˉ
p ⃗ ′ = ∫ ( r ⃗ ′ − a ⃗ ) ρ ( r ⃗ ′ ) d τ ′ = ∫ r ⃗ ′ ρ ( r ⃗ ′ ) d τ ′ − a ⃗ ∫ ρ ( r ⃗ ′ ) d τ ′ = ∫ r ⃗ ′ ρ ( r ⃗ ′ ) d τ ′ − Q a ⃗ = p ⃗ − Q a ⃗ . \begin{aligned} \vec{p}' &= \int (\vec{r}'-\vec{a})\rho(\vec{r}')d\tau'\\ &= \int \vec{r}'\rho(\vec{r}')d\tau' -\vec{a}\int\rho(\vec{r}')d\tau'\\ &= \int \vec{r}'\rho(\vec{r}')d\tau' -Q\vec{a} =\vec{p}-Q\vec{a}\,. \end{aligned} p ′ = ∫ ( r ′ − a ) ρ ( r ′ ) d τ ′ = ∫ r ′ ρ ( r ′ ) d τ ′ − a ∫ ρ ( r ′ ) d τ ′ = ∫ r ′ ρ ( r ′ ) d τ ′ − Q a = p − Q a . 여기서 Q Q Q Q = 0 Q=0 Q = 0 p ⃗ ′ = p ⃗ \vec{p}'=\vec{p} p ′ = p
