임의의 전하 분포에 대한 다중극 전개

zeta_xiv·2025년 1월 24일
물리학전자기학

전기 쌍극자와 전기 퍼텐셜의 다중극 전개

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임의의 전하 분포

임의의 전하 분포 ρ(r⃗)\rho(\vec{r})에 대한 위치 r⃗\vec{r}에서의 전기 퍼텐셜은 다음과 같다:

V(r⃗)=14πε0∫1ηρ(r⃗′)dτ′V(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{1}{\eta}\rho(\vec{r}')d\tau'

여기서 r⃗′\vec{r}'은 미소 체적 dτ′d\tau'의 위치이며, η⃗=r⃗−r⃗′\vec{\eta}=\vec{r}-\vec{r}'이고, η=∣r⃗−r⃗′∣\eta=|\vec{r}-\vec{r}'|을 뜻한다. 그러면 코사인 법칙에 의해

η2=r2+(r′)2−2rr′cos⁡θ′=r2(1+(r′r)(r′r−2cos⁡θ′))=r2(1+ϵ)\begin{aligned} \eta^2 &= r^2 + (r')^2 - 2rr'\cos\theta'\\ &= r^2\left(1+\left(\frac{r'}{r}\right)\left(\frac{r'}{r}-2\cos\theta'\right)\right) =r^2(1+\epsilon) \end{aligned}

이라 놓을 수 있다. 이때 ϵ=(r′r)(r′r−2cos⁡θ′)\epsilon = \left(\frac{r'}{r}\right)\left(\frac{r'}{r}-2\cos\theta'\right)이다. 여기서 r≫r′r\gg r'인 영역에서는 ∣ϵ∣≪1|\epsilon|\ll 1이므로 다음과 같이 전개할 수 있다:

1η=1r(1+ϵ)−1/2=1r(1−12ϵ+38ϵ2−516ϵ3+⋯ )=1r[1+(r′r)cos⁡θ′+(r′r)23cos⁡2θ′−12+(r′r)35cos⁡3θ′−3cos⁡θ′2+⋯ ]=1r[1+(r′r)P1(cos⁡θ′)+(r′r)2P2(cos⁡θ′)+(r′r)3P3(cos⁡θ′)+⋯ ] .\begin{aligned} \frac{1}{\eta} &= \frac{1}{r}(1+\epsilon)^{-1/2}\\ &= \frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2}\epsilon+\frac{3}{8}\epsilon^2-\frac{5}{16}\epsilon^3+\cdots\right)\\ &= \frac{1}{r}\left[ 1+\left(\frac{r'}{r}\right)\cos\theta' +\left(\frac{r'}{r}\right)^2\frac{3\cos^2\theta'-1}{2} +\left(\frac{r'}{r}\right)^3\frac{5\cos^3\theta'-3\cos\theta'}{2} +\cdots\right]\\ &= \frac{1}{r}\left[ 1+\left(\frac{r'}{r}\right)P_1(\cos\theta') +\left(\frac{r'}{r}\right)^2P_2(\cos\theta') +\left(\frac{r'}{r}\right)^3P_3(\cos\theta') +\cdots\right]\,. \end{aligned}

즉, 르장드르 다항식의 전개가 된다. 이때 미소 전하 분포까지의 거리의 역수 1η\frac{1}{\eta}를 르장드르 다항식의 "생성 함수(generating function)"라고 한다. 정확히는

1η=1r2+(r′)2−2rr′cos⁡θ′=1r∑n=0∞(r′r)nPn(cos⁡θ′)\frac{1}{\eta} =\frac{1}{\sqrt{r^2+(r')^2-2rr'\cos\theta'}} =\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{r'}{r}\right)^n P_n(\cos\theta')

인 관계가 있다. 따라서 임의의 전하 분포에 대한 전기 퍼텐셜은

V(r⃗)=14πε0∫1ηρ(r′)dτ′=14πε0∑n=0∞1rn+1∫(r′)nPn(cos⁡θ′)ρ(r′)dτ′V(\vec{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{1}{\eta} \rho(r')d\tau' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{r^{n+1}} \int (r')^n P_n(\cos\theta') \rho(r') d\tau'

과 같이 르장드르 다항식을 이용한 다중극 전개로 쓸 수 있다.

일반적으로 임의의 전하 분포에 대한 전기 퍼텐셜은 이 전개의 첫 번째 항, 즉 단극자(monopole) 항이다:

Vmon(r⃗)=14πε01r∫ρ(r′)dτ′=14πε0Qr .V_{\text{mon}}(\vec{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}\int \rho(r') d\tau' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}\,.

여기서 Q=∫ρ(r′)dτ′Q=\int \rho(r') d\tau'는 전하 분포의 전체 기여이다. 즉 단극자항은 rr이 클 때 점전하의 전기 퍼텐셜이다.

그러나 Q=0Q=0이면 그 다음항인 쌍극자(dipole) 항이 최대 기여가 된다. 쌍극자 항은 다음과 같다:

Vdip(r⃗)=14πε01r2∫r′cos⁡θ′ρ(r′)dτ′=14πε01r2∫r^⋅ r⃗′ρ(r′)dτ′=14πε0r^r2⋅∫r⃗′ρ(r′)dτ′=14πε0p⃗⋅r^r2\begin{aligned} V_{\text{dip}}(\vec{r}) &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2} \int r' \cos\theta' \rho(r') d\tau'\\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^2} \int \hat{r}\cdot\ \vec{r}'\rho(r') d\tau'\\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\hat{r}}{r^2}\cdot\int \vec{r}'\rho(r') d\tau' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2} \end{aligned}

여기서

p⃗=∫r⃗′ρ(r′)dτ′=∫r⃗′dq′\vec{p} = \int \vec{r}'\rho(r') d\tau'=\int\vec{r}' dq'

는 이 전하 분포의 (전기) 쌍극자 모멘트(dipole moment)이다. 만약 전하 분포가 점전하들의 모임이라면 쌍극자 모멘트는

p⃗=∑i=1nqir⃗i′\vec{p} = \sum_{i=1}^n q_i \vec{r}'_i

로 주어질 것이다. 실제 물리적 쌍극자에서는

p⃗=qr⃗+′−qr⃗−′=qd⃗\vec{p} = q \vec{r}'_{+} -q \vec{r}'_{-} = q \vec{d}

가 되므로 쌍극자 전기 퍼텐셜은

Vdip(r⃗)=14πε0p⃗⋅r^r2=14πε0qdcos⁡θr2V_{\text{dip}}(\vec{r}) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\hat{r}}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{qd\cos\theta}{r^2}

로 주어진다.

만약 쌍극자의 기여도 합마저 00일 경우, 해당 전하 분포의 전기 퍼텐셜에 대한 최대 기여는 다중극 전개에서 사중극자(quadrupole) 항

Vquad(r⃗)=14πε01r3∫(r′)2P2(cos⁡θ′)ρ(r′)dτ′=14πε01r3∫(r′)23cos⁡2θ−12ρ(r′)dτ′\begin{aligned} V_{\text{quad}}(\vec{r}) &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^3} \int (r')^2 P_2(\cos\theta') \rho(r') d\tau'\\ &=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r^3} \int (r')^2 \frac{3\cos^2\theta-1}{2} \rho(r') d\tau' \end{aligned}

이 될 것이다.

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