편미분의 정의와 연속

2차원 평면 좌표계, 즉 $\mathbb{R}^2$에서의 편미분(partial derivative)에 대하여 알아보기 전에, 우선 $\mathbb{R}^2$에서 함수의 수렴 및 연속이 어떻게 정의되는지 알아보자.

(Definition) $\mathbb{R}^2$에서 정의된 함수 $f(x,y)$가 $(x_0, y_0)$에서 실수 $L$로 수렴한다는 것은 $f$의 정의역 안에서 임의의 $\varepsilon>0$에 대하여

을 만족하는 적당한 $\delta>0$가 항상 존재한다는 것을 뜻한다. 이것을 기호로는

로 나타낸다.

2차원에서의 함수의 연속 역시 1차원 함수에서의 그것과 거의 유사하게 정의된다:

(Definition) 함수 $f(x,y)$가 다음 세 가지 조건

1. $f$는 $(x_0, y_0)$에서 정의된다
2. $\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0, y_0)}f(x,y)$가 존재한다
3. $\lim_{(x,y)\rightarrow(x_0, y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0)$

을 만족하면 "$f$는 $(x_0, y_0)$에서 연속"이라고 한다. 함수 $f$가 정의역 전체에서 연속이면 "$f$는 연속"이다.

이제 편미분을 정의하자:

(Definition) 점 $(x_0, y_0)$에서 $f(x,y)$의 "$x$에 대한 편미분" $\partial f / \partial x$은 다음

으로 정의된다. 물론 해당 극한이 존재할 때 정의된다.

위 극한이 정의되는 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다:

Ex. 다음 함수

를 생각하자. 즉, 다음 그림과 같은 상황이다.

여기서 직선 $y=x$ 위에서는 다음과 같음을 알 수 있다:

그런데 $f(0,0)=1$이므로 $f$는 $(0,0)$에서 명백하게 연속이 아니다. 그러나 편미분 $\partial f / \partial x$과 $\partial f / \partial y$는 모두 $(0,0)$에서 존재한다. 우선 $(0,0)$에서 $\partial f / \partial x$을 구하기 위해 $y=0$으로 고정하자. 그러면 모든 $x$에 대하여 $f(x,0)=1$이며, 이 직선 위의 어떤 $x$에 대해서도 $\partial f / \partial x=0$이다. 특히 $(0,0)$에서 $\partial f / \partial x=0$이다. 마찬가지로 직선 $x=0$ 위에서 생각하면 $(0,0)$에서 $\partial f / \partial y=0$이다.

위의 예제에도 불구하고, 여전히 2차원 이상의 고차원에서도 "미분 가능하면 연속"이 성립한다. 그러나 고차원에서는 "미분 가능"이 다르게 정의되며, 1차원보다 더 강력한 제약 조건이 따른다. 다음 글에서 이에 대해 논의한다.