실수 체계

대학 1학년 미적분학(calculus)이나 수리물리학보다는 엄밀하지만, 대학 2학년 실해석학(real analysis)보다는 엄밀하지 않은 정도로만 다룹니다. 미적분학의 기본 정리들을 증명하기 위한 최소한의 도구를 갖추는 것만을 목표로 합니다.

실수 체계(real number system)의 정의는 크게 세 가지 단계로 이루어질 수 있는데, 대수적 성질, 순서(ordering) 공리, 그리고 완비성(completeness)이다.

1. (체 공리) 실수 집합($\mathbb{R}$)은 체(field)이다. 다시 말해서 덧셈($+$)과 곱셈($\cdot$)이 정의되는 집합이라는 뜻이다. 대수학(algebra)에서 체란 "곱셉의 항등원(unity) 1을 갖는 가환 나눗셈환(commutative division ring)"이다. 즉, 임의의 $a, b, c\in \mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다:
   F1. $a+b$와 $a\cdot b$는 $\mathbb{R}$에 포함된다. (닫힘 성질)
   F2. $a+(b+c)=(a+b)+c$이고, $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$이다. (결합법칙)
   F3. $a+b=b+a$이고, $a\cdot b=b\cdot a$이다. (교환법칙)
   F4. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+ a\cdot c$ (분배법칙)
   F5. $0+a=a$를 만족하는 유일한 원소 $0$이 $\mathbb{R}$에 포함된다. (덧셈의 항등원)
   F6. $1\cdot a=a$를 만족하는 유일한 원소 $1$이 $\mathbb{R}$에 포함된다. (곱셈의 항등원)
   F7. $a+(-a)=0$을 만족하는 유일한 원소 $-a$가 $\mathbb{R}$에 포함된다. (덧셈의 역원)
   F8. $a\ne 0$일 때, $a\cdot(a^{-1})=0$을 만족하는 유일한 원소 $a^{-1}$이 $\mathbb{R}$에 포함된다. (곱셈의 역원)

2. (순서 공리) 곱집합 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$은 순서 관계 $\le$를 갖는다. 즉, 임의의 $a, b, c\in \mathbb{R}$에 대하여 다음이 성립한다:
   O1. 다음 중 하나만 성립한다: $a>b$, $b<a$, $a=b$ (삼자택일)
   O2. $a<b$이고 $b<c$이면 $a<c$이다. (추이성)
   O3. $a<b$이면 $a+c<b+c$이다. (덧셈성질)
   O4. $a<b$이고 $c>0$이면 $a\cdot c<b\cdot c$이다. 또한 $a<b$이고 $c<0$이면 $a\cdot c>b\cdot c$이다. (곱셈성질)

3. (완비성) 공집합이 아닌 모든 실수의 부분 집합은 최소 상계(least upper bound)를 실수 집합 안에 갖는다.

"유리수" 집합은 다음과 같이 정의된다:

또한 "무리수" 집합은 $\mathbb{Q}^c=\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$로 정의된다.

유리수와 무리수의 합은 반드시 무리수이다. $q$가 무리수이고 $x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$라 하자. 이때 $q+x=r\in\mathbb{Q}$이면 $x=r-q\in\mathbb{Q}$가 되는데, 이는 모순이다. 따라서 $q+x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$이다. 그러나 어떤 무리수라도 $0$과의 곱은 유리수이다.

유리수($\mathbb{Q}$)와 실수($\mathbb{R}$)는 위의 공리 중에서 1과 2를 만족한다. 그러나 공리 3은 실수만이 만족한다.

Ex. 유리수에 구멍(gap)이 있다는 잘 알려진 한 가지 예는 $\sqrt{2}$에 대응되는 유리수가 없다는 점이다. 만약 거듭제곱해서 $2$가 되는 유리수가 존재한다면 $r=p/q$이고 $r^2=2$인 서로 소인 두 유리수 $p$, $q$가 존재하여야 한다. 즉, $p^2=2q^2$를 만족해야한다. 이때 $p$는 $2$의 배수이므로 홀수일 수 없다. 따라서 $p=2k$로 놓으면 $p^2=4k^2=2q^2$에서 q도 짝수여야만 한다. (그렇지 않으면 $4k^2$가 $4$의 배수가 될 수 없으므로 모순이다.) 이것은 $p$와 $q$가 서로 소라는 가정에 모순이므로 거듭제곱해서 $2$가 되는 유리수란 존재할 수 없는 것이다.

유리수 집합($\mathbb{Q}$)의 갭을 메워 실수 집합($\mathbb{R}$)을 구축하는 방식 중에 데데킨트 절단(Dedekind cuts)이 있다. 이를 통해 가위로 선을 절단하듯이 실수 체계를 시각화해서 이해할 수 있다.

(Definition) 집합 $S$에서의 절단(cut)은 $S$의 두 부분 집합 $A$와 $B$의 쌍으로 정의되며, 다음을 만족한다:
(1) $A\cup B=S$, $A\ne\empty$, $B\ne\empty$, $A\cap B=\empty$.
(2) $a\in A$이고 $b\in B$이면 $a<b$이다.

두 집합 $A$와 $B$가 특정한 집합 $S$에 대한 데데킨트 절단을 이루면 $A|B$로 표시한다. 다음 글에서 증명하겠지만, 실수 전체의 절단을 $L|R$이라고 하면 $L$이 최대 원소를 그 안에 포함하거나 혹은 $R$이 최소 원소를 그 안에 포함하거나 둘 중 하나의 경우만이 성립한다.

(Definition) 순서가 있는 집합 $S$에 대한 절단 $L|R$에 대하여 $S$의 임의의 원소 $\alpha$가 $a\in A$일 때 $a\le\alpha$를 만족하고, 또한 $b\in B$일 때 $\alpha\le b$를 만족한다면 $\alpha$가 $L|R$의 "생성자"라고 하며, 때때로 $\alpha = L|R$로 표기한다.

Ex. $L=\{x\in \mathbb{Q}|x<\sqrt{2}\}$ 이고 $R=\{x\in \mathbb{Q}|x>\sqrt{2}\}$이면 $L|R$은 유리수에서의 절단을 형상한다. 이때 $\sqrt{2}$는 유리수에 포함되지 않지만 절단 $L|R$을 생성한다.

절단의 생성자들 사이에는 순서 관계가 있다:

(Definition) $x=A|B$이고 $y=C|D$인데 $A\sub C$이면 $x$는 $y$보다 "작거나 같다"라고 하며 $x\le y$라고 쓴다. $A\sub C$인데 $A\ne C$이면 $x$는 $y$보다 "작다"라고 하며 $x<y$로 쓴다.

순서가 있는 집합에서 위상수학(topology)적 엄밀함을 도입하지 않고 "조밀함"을 다소 직관적으로 정의하자면 다음과 같다:

(Definition) 순서가 있는 집합 $S$에 대하여 $S$의 두 원소 $a$와 $b$가 $a<b$일 때 어떤 $s\in S$가 존재하여 $a<s<b$를 만족하면 $S$는 "조밀하다"라고 한다.

실수의 조밀성과 데데킨트 절단을 이용하여 "3. 실수의 완비성" 공리를 이끌어내고, 다시 역으로 완비성으로부터 실수의 조밀성을 이끌어낼 수 있다. 미적분학의 여러 정리의 증명에 자주 쓰이는 것은 공리의 다음 표현이다:

(Axiom) (최소 상계 성질; Least upper bound property) 임의의 공집합이 아닌 실수의 부분집합이 상계(upper bound)를 갖는다면, 그 집합은 최소 상계를 갖는다.

여기서 최소 상계 등이 무엇인지는 다음 글에서 따로 정의하고 관련 성질을 증명하겠다.