삼각 부등식

zeta_xiv·2025년 1월 9일

(Theorem) (삼각 부등식) 임의의 복소수 $z_1$ , $z_2$ 에 대하여 다음이 성립한다:

|z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|\,.

Proof) 다음을 살펴보자:

\begin{aligned} |z_1+z_2|^2 &= (z_1+z_2)\overline{(z_1+z_2)} = (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2})\\ &= z_1\overline{z_1} +2\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) +z_2\overline{z_2}\\ &\le z_1\overline{z_1} +2|z_1\overline{z_2}| +z_2\overline{z_2}\\ &= |z_1|^2+2|z_1||z_2|+|z_2|^2 = (|z_1|+|z_2|)^2\,. \end{aligned}

한편 절댓값은 음수가 아니므로 위의 전개로부터 $|z_1+z_2| \le |z_1|+|z_2|$ 을 얻는다. ■

두 복소수 대신 두 실수 $x$ , $y$ 에 한정하는 증명 또한 유사한 방식으로 할 수 있다:

\begin{aligned} |x+y|^2 = (x+y)^2 &= x^2+2xy+y^2\\ &= |x|^2+2xy+|y|^2\\ &\le |x|^2+2|x||y|+|y|^2= (|x|+|y|)^2\,. \end{aligned}

여기서도 절댓값이 음수가 아니므로 전개로부터 $|x+y| \le |x|+|y|$ 을 얻는다.

(Corollary) 두 복소수 $x$ , $y$ 에 대하여 다음이 성립한다:

||x|-|y||\le|x\pm y|\le|x|+|y|\,.

Proof) 다음 식

|x| = |(x+y)+(-y)|\le|x+y|+|y|

으로부터 다음을 얻는다:

|x|-|y|\le|x+y|\,.

따라서 다음을 얻는다:

|x|\ge|y|\quad\Rightarrow\quad |x|-|y|\le|x+y|\,,\\ |y|\ge|x|\quad\Rightarrow\quad |y|-|x|\le|x+y|\,.\\

따라서 $|x|\ge|y|$ 또는 $|y|\ge|x|$ 중에서 어떤 경우라도 다음

||x|-|y||\le|x+y|\le|x|+|y|

이 항상 성립한다. 이제 $y$ 대신 $-y$ 를 넣으면

||x|-|y||\le|x-y|\le|x|+|y|

를 얻으므로, $||x|-|y||\le|x\pm y|\le|x|+|y|$ 이 항상 성립함을 알 수 있다. ■