수열의 비교 정리

수렴하는 두 수열이 $N$번째 항 이상에서 대소 관계를 유지한다면 그 극한들끼리도 대소 관계를 유지한다.

(Theorem) (수열의 비교 정리) 수렴하는 두 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$을 생각하자. 만약 어떤 자연수 $N$에 대하여

이면

이다. 특히, 닫힌 구간에서 정의되는 수열 $a_n\in [s, t]$이 특정한 점 $a$로 수렴한다면 $a$는 반드시 $[s, t]$에 포함되어야 한다.

Proof) 만약 $n\ge N$일 때 $a_n\le b_n$인데 극한의 대소 관계는 만족하지 않는다면 두 수열의 극한 $a=\lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ 및 $b=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$에 대하여 $a>b$일 수 있게 된다. 이런 경우에 $\varepsilon=(a-b)/2$을 생각하면 두 수열은 수렴하므로 $N_1>N$을 만족하는 자연수 $N_1$이 $n\ge N_1$일 때

가 된다고 가정하는 것이 가능하다. 두 식을 풀어쓰면

을 얻는다. 이제 이들을 이용하면 다음이 성립한다:

이것은 가정에 모순이므로 극한의 대소 관계는 만족되어야 한다. 즉, $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n\le\lim_{n\rightarrow\infty}b_n$이어야만 한다.
  이제 두 번째 명제를 증명하자. 방금 증명한 첫 번째 명제로부터 $s\le a_n\le t$이므로 $s\le a\le t$를 얻는다. ■

(Lemma) (확장된 실수에서의 수열의 비교 정리) $\bar{\mathbb{R}}$에서 수렴하는 두 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$을 생각하자. $a_n \rightarrow a$이고 $b_n \rightarrow b$일 때, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n\le b_n$이면 $a\le b$이다.

Proof) 만약 a와 b가 유한이면 바로 위에서 증명한 $\mathbb{R}$에서의 수열의 비교 정리에 의해 $a\le b$이다. 만약 $a=b=\pm\infty$이거나, 혹은 $a=-\infty$이고 $b=\infty$이면 더 이상 증명할 것이 없다.
  이제 $a=\infty$이고 $-b=\infty$인 경우를 가정하자. 그러면 확장된 실수에서 수열이 무한대로 발산한다는 것의 정의에 의하여 임의의 $M\in\mathbb{R}$이 있을 때, 충분히 큰 $n$에 대하여 $a_n>M$, $b_n<M$이다. 여기서 $M=0$이라 하면 $a_n>0>b_n$이 되며 이것은 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n\le b_n$이라는 가정에 모순이다. 따라서 $a=\infty$이고 $-b=\infty$일 수 없으며 확장된 실수에서 언제나 $a<b$이어야 한다. ■

또한 수열의 최소 상계(least upper bound)에 대한 다음의 비교 정리가 성립한다.

(Theorem) 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_n<b_n$이면, $\sup(a_n)\le\sup(b_n)$이다.

Proof) 결론을 부정하여 $\sup(a_n)>\sup(b_n)$이라고 가정하자. 여기서 $\sup(a_n)=A$, $\sup(b_n)=B$라 하면 $A>B$이다. 그런데 $\sup(a_n) = A$라는 뜻은 임의의 $\varepsilon>0$에 대하여 $a_n\le A$ 이면서 $\varepsilon$ 이내로 $A$에 근접(즉, $A-\varepsilon$보다 큰)하는 항이 $\{a_n\}$ 중에 존재한다는 뜻이다. (존재하지 않으면 $\sup(a_n)=A$에 모순이기 때문이다.) 여기서 $\varepsilon=A-B$라 놓으면 $A-\varepsilon=B$가 된다. 즉, $a_n>A-\varepsilon=B$를 만족하는 n이 존재하며, 이때 $b_n\le B<a_n$을 만족한다. 이것은 모든 $n\in\mathbb{N}$에 대하여 $a_n<b_n$이라는 가정에 모순이다. 따라서 $\sup(a_n)\le\sup(b_n)$이 되어야 한다. ■

Ex. $a_n=1-2e^{-n}$, $b_n=1-e^{-n}$이면 언제나 $a_n<b_n$이며 $\sup(a_n)=\sup(b_n)=1$이다.