Conditional Probabilities 조건부 확률
사건 B가 발생했다는 것을 알고 있을 때, 사건 A가 발생할 확률을 나타내는 조건부 확률
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)여기서 P(A ∩ B)는 사건 A와 B가 동시에 발생하는 확률(교집합), P(B)는 사건 B가 발생할 확률을 나타낸다.
즉, 이 공식은 사건 B가 일어난 상황에서 사건 A가 일어날 확률은,
B와 A가 동시에 일어날 확률을 B가 일어날 확률로 나눈 값이라는 뜻!
이는 사건 B가 이미 발생한 것을 전제로 하여 가능한 결과들이 B가 일어난 상황에 포함되도록 하여 구하는 것을 반영한다.
Independent Events 독립적인 사건
A와 B가 서로 독립인 사건일 때,
두 사건이 모두 발생할 확률은 각 사건이 따로 발생할 확률의 곱과 같다.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)"A|B의 확률이 P(A) P(B|A) = P(B)"는 사건 B가 발생한 상황에서 A의 조건부 확률을 구하는 공식
만약 A와 B가 독립적인 사건이라면, B의 발생이 A의 확률에 영향을 주지 않기 때문에 P(A|B) = P(A)이다.
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(A) ⋅ P(B) / P(B) = P(A)A와 B가 독립적인 사건이라면, P(B|A) = P(B)의 공식도 유도할 수 있다.
이는 A의 발생이 B의 확률에 영향을 주지 않기 때문!
P(A|B) = P(A) ⋅ P(B|A) / P(B) = P(A) ⋅ P(B) / P(B) = P(A)* 예상 시험문제
- 사건 A와 B가 각각 발생할 확률이 각각 0.3, 0.5인 경우,
두 사건이 모두 발생할 확률은 얼마인가요?
P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = 0.3 x 0.5 = 0.15
따라서, 두 사건이 모두 발생할 확률은 0.15이다.- 어느 공장에서 생산되는 전자제품의 불량률이 3%이고, 이 공장에서 생산된 전자제품 중 80%가 수출용입니다. 이 공장에서 생산된 수출용 전자제품 중 불량품이 나올 확률은 얼마일까요?
전자제품의 불량률이 3%이므로, 생산된 전자제품 중 불량품이 나올 확률은 0.03
이 공장에서 생산된 전자제품 중 80%가 수출용이므로, 수출용 전자제품이 나올 확률은 0.8이다.
따라서, 수출용 전자제품 중 불량품이 나올 확률은 P(불량 | 수출용) = P(불량 ∩ 수출용) / P(수출용)
불량품이 나오는 경우와 수출용인 경우는 서로 독립적이 아니므로, 조건부 확률을 구해야한다.
P(불량 ∩ 수출용) = P(불량) x P(수출용) = 0.03 x 0.8 = 0.024
P(수출용) = 0.8
따라서, P(불량 | 수출용) = P(불량 ∩ 수출용) / P(수출용) = 0.024 / 0.8 = 0.03
따라서, 이 공장에서 생산된 수출용 전자제품 중 불량품이 나올 확률은 3%이다.- A, B, C, D, E 다섯 명이 동전을 던지는 실험을 합니다.
이 때, 적어도 한 명은 앞면이 나올 확률은 얼마일까요?
동전 한 개를 던지는 경우 앞면이 나올 확률은 1/2, 뒷면이 나올 확률도 1/2
따라서, 한 명이 동전을 던질 때 적어도 한 명이 앞면이 나올 확률은 1/2
다섯 명이 각각 동전을 던지는 경우, 각각의 결과는 서로 독립적이므로 적어도 한 명은 앞면이 나올 확률은 다음과 같다.
P(적어도 한 명은 앞면이 나올 확률) = 1 - P(모두 뒷면이 나올 확률)
= 1 - (1/2)^5
= 1 - 1/32
= 31/32
따라서, 적어도 한 명은 앞면이 나올 확률은 31/32- 어떤 학급의 학생들 중 60%가 축구를 좋아하고 40%가 농구를 좋아한다.
이 학급에서 임의로 2명을 뽑았을 때, 두 학생이 모두 축구를 좋아할 확률은 얼마인가요?
축구를 좋아하는 학생들과 농구를 좋아하는 학생들은 서로 독립적이므로,
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)를 사용할 수 있다.
여기서 A는 "첫 번째 학생이 축구를 좋아하는 경우", B는 "두 번째 학생이 축구를 좋아하는 경우"를 의미!
P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = 0.6 x 0.6 = 0.36
따라서, 두 학생이 모두 축구를 좋아할 확률은 0.36
내일의 나는, 오늘의 도전으로 만들어진다!