기저

기저의 정의

기저란 선형독립인 벡터들이 span하는 벡터공간을 의미한다.
2차원에서는 쉽게 x축, y축들이 기저의 예이다.
(기저는 유일하지 않다.)

의미를 설명했듯이 기저가 되기 위한 조건은
1. 선형적으로 독립
2. span이 공간을 커버할 수 있어야 한다.
(공간 V의 기저 B가 있다고 할 때, span(B) = V가 된다.)

축의 역할을 할 수 있다고 했기 때문에 기저로 하나의 벡터를 나타내는 방법은
유일하다.

기저의 수 증명

차원 : 기저에 속한 벡터의 수

V가 0이 아닌 $R^n$의 부분공간이면, 최대 n개의 원소를 가지는 V의 기저 B가 존재한다.

$v1 \in V$, $span(v1) \subseteq V$
$s*v1 \in V$

if $span(v1) = V$, v1이 기저가 된다.
else if $span(v1)$ != $V$
$V - span(v1) \not= \emptyset = A_1$
$v2 \in A_1$

if $span(v1, v2)$ = $V$, {v1, v2}가 기저가 된다.
else if $span(v1, v2)$ $\not=$ $V$

위와 같은 방법으로 쭉 진행하면 n까지 진행이 되고, n+1부터는 $R^n$공간에서 n+1개 이상이
선형독립일 수 없으므로 n까지 진행한다면 모든 경우에 대해 살펴본 것이 된다.

기저 변환

$E = \{e1, e2, ..., en\}, B = \{v1, v2, ..., vn\}$

기저 E로 한 좌표를 나타낸 것을 기저 B를 사용해 나타내어 보자.

$BX$ = $I$
$X = B^{-1}I$

만일, B에서 B' = $\{v1', v2', ... , vn'\}$라는 기저로 변환한다고 해보자
$(x1, x2, ..., xn)_B = X$라는 좌표를 옮긴다면 위의 공식을 활용해
$(x1', x2', ..., xn')_B' = X'$ = $B'^{-1}BX$가 된다.

참고 : https://www.youtube.com/channel/UC3hr2KDGoW9ivF9hVmxmn7Q