[ 통계 ] Conditional Distribution

개요

지난 포스팅에서는 결합확률분포와 주변확률분포에 대해서 알아봤다. 포스팅참고
이번 포스팅에서는 확률변수가 이산확률변수일 때와 연속확률변수일 때 조건부확률함수와 조건부밀도함수에 대해서 알아보려고 한다.

조건부확률함수

조건부확률

사상 A가 주어진 조건에서 사상 B의 조건부확률 $P(B|A)$는

로 정의되어 있다.

조건부확률함수

X와 Y가 이산확률변수라하면, X=x일 때, Y가 y의 값을 취할 확률은 다음과 같이 주어진다.

여기서,

이다. 이때, $\mathcal{P}_{Y|X}(y | x)$라는 확률을 $X=x$가 주어진 $Y$의 조건부확률함수라 한다.

특히 $X와\ Y$가 독립이면

이다.

예시

$X와\ Y의\ 결합확률함수\ \mathcal{P}(x,y)는\ 다음과\ 같다.\\ \mathcal{P}(1,1)=0.5,\ \mathcal{P}(1,2)=0.1,\mathcal{P}(2,1)=0.1,\mathcal{P}(2,2)=0.3 \\ 이때,\ Y=1인\ 조건에서\ X의\ 확률함수를\ 구하면?$

요구하는 걸 수식으로 나타내면 $P(X=x|Y=1)$이다. 이를 풀어서 쓰면 $\frac{P_{XY}(X=x,Y=1)}{P_Y(Y=1)}$이 된다. 즉 x에대한 함수로 나타내면 된다.

먼저 분자에 해당하는 결합확률값들은 문제에서 주어져 있으므로 분모에 해당하는 Y의 주변확률밀도함수를 구하면 된다.

이산형확률변수의 주변확률밀도함수는 Y=1의 값에서 모두 더하면 구할 수 있었다. $0.5+0.1=0.6$

확률변수 X가 가지는 값이 1과 2이므로 X가 1일때와 2일 때의 값을 구하면 Y=1일 때의 X의 조건부확률함수를 구할 수 있다.
$P(X=1|Y=1)=5/6\\ P(X=2|Y=1) = 1/6$

조건부확률밀도함수

$X$와 $Y$가 결합밀도함수 $f(x,y)$를 갖는 연속형확률변수일 때, $Y$의 주변밀도함수 $f_y(y)>0$이 되는 모든 $y$에 대하여 $Y=y$가 주어진 $X$의 조건부확률밀도함수는 $f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{xy}(x,y)}{f_y(y)}$로 정의한다.

이렇게 확률변수가 이산형일 때와 연속형일 때, 조건부확률함수는 결합확률함수와 주변확률함수로 이루어져있는 것을 알아보았다.