3-1 벡터, 행렬이가 뭐에요?

벡터가 뭔가요?

벡터는 숫자를 원소를 가지는 리스트 또는 배열

• 열벡터, 행벡터
  
• 벡터는 공간에서 한 점을 나타냅니다.
• 벡터는 원점으로부터 상대적 위치를 표현합니다.
• 벡터에 숫자를 곱해주면 길이만 변합니다.(스칼라곱)!
  • 스칼라가 1보다 크면 길이가 늘어나고, 1보다 작으면 길이가 줄어듬(단, 0보다 작으면 반대방향이 됩니다)
• 벡터끼리 같은 모양을 가지면 덧셈, 뺄셈을 계산할 수 있습니다.
• 벡터끼리 같은 모양을 가지면 성분곱(hadamard product)을 계산할 수 있다.

벡터의 덧셈을 알아보자

• 두 벡터의 덧셈은 다른 벡터로부터 상대적 위치이동을 표현합니다.

벡터의 노름(norm)

• 원점에서부터의 거리를 말합니다.
• L1-노름은 각 성분의 변화량의 절대값을 모두 더함
• L2-노름은 피터고라스의 정리를 이용해 유클리드 거리를 계산
• 노름의 종류에 따라 기하학적 성질이 달라짐
• 머신러닝에선 각 성질들이 필요할 때가 있으므로 둘다 사용

두 벡터 사이의 거리

• L1,L2-노름을 이용해 두 벡터 사이의 거리를 계산할 수 있음
• 두 벡터 사이의 거리를 계산할 때는 벡터의 뺄셈을 이용

두 벡터 사이의 각도

• L2-노름을 이용하여 계산 가능
• 제 2코사인 법칙에 의해 두 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있다.
• 분자를 쉽게 계산하는 방법이 내적이다.

내적은 어떻게 해석할까?

• 내적은 정사영(orthogonoal projection)된 벡터의 길이와 관련
• 벡터Y로 정사영된 벡터X의 그림자를 의미함
• $Pro(x)$의 길이는 코사인법칙에 의해 $||x||cosθ$가 된다.
• 내적은 정사영의 길이를 벡터y의 길이 $||y||$만큼 조정한 값이다.
• 두 벡터의 유사도를 측정하는데 사용 가능함
  

행렬이 뭔가요?

행렬은 벡터를 원소로 가지는 2차원 배열입니다.

• 3개의 행벡터를 가진 배열
• 행렬을 행과 열이라는 인덱스를 가집니다.
• 행렬의 특정행(열)을 고정하면 행(열)벡터라 부릅니다.

행렬 이해하기

• 벡터가 공간에서 한 점을 의미한다면 행렬을 여러 점들을 나타냅니다.
• 행렬의 행벡터 $Xi$는 i번째 데이터를 의미합니다.
• 행렬의 $Xij$는 i번째 데이터의 j번째 변수의 값을 말합니다.

행렬의 덧셈, 뺄셈, 성분곱, 스칼라곱

• 행렬끼리 같은 모양을 가지면 덧셈,뺄셈을 계산할 수 있습니다.
• 성분곱, 스칼라곱도 벡터와 똑같음
• 행렬 곱셉(matrix multipliaction)은 i번째 행벡터와의 j번째 열벡터 사이의 내적을 성분으로 가지는 행렬을 계산한다.
• 넘파이의 np.inner는 i번째 행벡터와의 j번째 열벡터 사이의 내적을 성분으로 가지는 행렬을 계산한다
• 수학에서 말하는 내적과는 다르므로 주의

행렬 이해하기2

• 행렬은 벡터공간에서 사용되는 연산자(operator)로 이해한다
• 행렬곱을 통해 벡터를 다른 차원의 공간으로 보낼 수 있다.
• 행렬곱을 통해 패턴을 추출할 수 있고 데이터를 압축할 수도 있습니다.

역행렬 이해하기

• 어떤 $A$의 연산을 거꿀로 되돌리는 행렬을 역행렬이라 부르고 $A-1$라 표시한다. 역행렬(inverse matrix)은 행과 열 숫자가 같고 행렬식이 0이 아닌 경우에만 계산할 수 있다.
• 만일 역행렬을 계산할 수 없다면 유사역행렬(pseudo-inverse) 또는 무어펜로즈 역행렬(Moore-Penrose)을 이용한다.

응용