자동제어 - Root Locus Design

Root Locus of a Basic Feedback System

• Closed-loop transfer function : $\frac{Y(s)}{R(s)}=T(s)=\frac{D(s)G(s)}{1+D(s)G(s)H(s)}$
• Chacteristic equation : $1+D(s)G(s)H(s)=0$
  $\rightarrow a(s)+Kb(s)=0\\ \rightarrow 1+KL(s)=0\;(L(s):=b(s)/a(s))$

Root Locus : K를 0에서 $\infty$까지 키웠을 때 위 식을 만족하는 근을 모두 나타낸 것이다.
이를 통해 closed-loop system에서 K를 바꾸었을 때, pole의 위치가 어떻게 변하는지로 시스템이 어떻게 되는지를 판단할 수 있다.

일반적인 상황에서 $L(s)$는 open loop transfer function 이다.
Notation : $1+KL(s)=0,\; L(s)=\frac{b(s)}{a(s)}$

Root locus forms : $1+KL(s)=0,\;1+K\frac{b(s)}{a(s)}$

root locus는 $L(s)$의 분모가 2차식이라면 2개의 roots와 2개의 branches가 나온다.
$K=0$이면 $L(s)$의 pole에서 branch가 시작된다.
root가 real axis에서 complex axis로 넘어가는 point를 Breakaway points라 한다. root는 무한대로 발산한다.

Guidelines for Sketching a Root Locus

$L(s)$ 분모의 차수가 다차식이 된다면 pole을 찾기가 어려워져서 Root Locus를 그리기가 어렵다.
이를 해결할 수 있는 방법이 있다.
Phase condition($L(s)=-1/K$)만으로 root locus를 찾는다.

Rules for Determining a Positive(180$\degree$) Root Locus

Root Locus를 손으로 그리는 방법

• RULE 1 : n개의 branch가 $L(s)$의 pole에서 시작하고 m개의 zero에서 끝난다.

• RULE 2 : 실수축에 내가 보고자 하는 점이 있고 그 오른쪽에 pole의 갯수가 홀수개 있다면 그 점은 root locus 위에 있다.

• RULE 3 : K가 매우 클 때, $n-m$개의 branch는 $s=\alpha$점에서 $\phi_l$각도로 발산한다.

  $\phi_l=\frac{180\degree+360\degree(l-1)}{n-m},\quad l=1,2,\dots,n-m\quad(\text{Angles of asymptotes})\\ \alpha=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m},\qquad (\text{Center of asymptotes})$

  

• RULE 4 : 한 점에 pole이 1개 이상 있을 때, pole에서 시작하는 선의 각도는 몇 도 일까?(multiplicity $q$) 또한, zero로 수렴하는 선의 각도는 몇 도일까?

  $q\phi_{l,dep}=\sum\psi_i-\sum_{i\neq j}\phi_i-180\degree-360\degree(l-1)\\ q\psi_{l,arr}=\sum\phi_i-\sum_{i\neq j}\psi_i+180\degree-360\degree(l-1)$

  

• RULE 5 : locus에서 두 선이 만나는 mulitple roots point는 다음과 같다. $(b\frac{da}{ds}-a\frac{db}{ds})=0$ 그리고, 이 중근으로 접근하는 root locus의 각도는 다음과 같다. $\frac{180\degree+360\degree(l-1)}{q}$

Continuation locus : 여러 roots의 점에서부터 도착하는 각도를 계산하는 것을 말한다. $K = K_1+K_2$라 하고 $K_2$ parameter로 새 locus를 그린다.

Selecting the Parameter Value

특정 K값을 정하게 되면 그 상황에 대한 system의 dynamic response를 알 수 있다.
Magnitude condition : $K=-\frac{1}{L(s)}\text{ or }K=\frac{1}{|L(s)|}$

Dominant poles : 다른 pole에 비해 허수축에 가까운 pole을 의미한다. 이 pole이 이 시스템의 응답을 좌지우지할 수 있다.

PD control의 단점 : 아날로그 신호는 sin wave와 같은 noise가 들어오게 된다. 이를 미분을 하게 되면 이 noise도 같이 증폭되어 들어오는 상황을 만들 수 있어서 결국 시스템에 영향을 줄 수 있다. 이를 극복하고자 lead compensator를 사용하여 controller를 만든다.

lead compensator : $K\frac{s+z}{s+p}(0<z<p)$의 미분의 사라진 모습이다. 이때, pole이 zero에 비해 충분히 멀다면 PD control과 비슷한 root를 그리는 것을 알 수 있다.

Design Using Dynamic Compensation

Lead compensation

응답성을 높이기 위해 rise time을 줄이고 overshoot을 줄인다.(감쇠비를 키운다.)

Lead compensation을 설정하는 방법은 많지만 2가지 정도만 알아보자.

Lag compensation

zero가 충분히 크다면 pole을 무시할 수 있어 PI control과 유사하게 보일 수 있다.

Notch compensation

light damped를 만들어서 안정적으로 작동하게 한다.

ex) Design of Lead Compensation [trial & error]

Plant : $G(s)=\frac{1}{s(s+1)}$
Design specifications : $M_p\leq 20\%,\;t_r \leq0.3\;sec$

Lead Compensation : $D(s)=K\frac{s+2}{s+10}$

Poles : $\zeta\omega_n(=-4.3)\pm j\omega$

pole은 -2.4로 zero에 가까이에 놓여 있다.


Overshoot가 설정한 값보다 넘게 나온 것은 compensation의 zero가 과도 응답에 영향을 주기 때문이다.
이를 해결하기 위해 compensation을 바꾸어 준다.

Design of Lead compensation [Method 1]

Plant : $G(s)=\frac{1}{s(s+1)}$
Design specifications : $M_p\leq 20\%,\;t_r \leq0.3\;sec$

Lead compensation : $D(s)=K\frac{s+7}{s+21}$

위 상황으로는 damping ratio가 0.5를 넘지 않기에 zero를 옮긴다.

Lead compensation : $D(s)=K\frac{s+5}{s+21}$

Design of Lead Compensation [Method 2]

Plant : $G(s)=\frac{1}{s(s+1)}$
Design specifications :

• closed loop poles at $r_0=-3.5+j3.5\sqrt{3}$
• $p\leq20\;(\text{noise suppression requirement})$
  pole을 20으로 설정한다.
  $\angle(G(s)\frac{1}{s+p})=107.4\degree\;\text{at } r_0=-3.5+j3.5\sqrt{3}\\ \rightarrow\text{Angle }\psi\text{ from the lead zero}=72.6\degree\\ \rightarrow z=-5.4$
  따라서, gain condition은 다음과 같다. $K=127$
  $\rightarrow D(s)=127\frac{s+5.4}{s+20}$
  
  

overshoot가 20%보다 크므로 fine tuning을 통해 수정하여 사용한다.

Design Using Lag Compensation

Dynamic response는 만족하지만 steady state error가 만족스럽지 않은 경우를 생각해 보자. 이는 low-frequency gain($K_p,\;K_v,\;etc$)가 매우 작은 경우이다. 이를 해결하기 위해 low-frequency gain의 값을 키우지만 dynamic response는 바꾸지 않도록 하고자 한다.
Natural frequency $\omega_n$과 같은 higher frequency에서는 제어기가 그 역할을 하지 않고 steady state가 되면 $s=0$일 때 gain을 키워서 steady state error를 줄인다.
위와 같은 방법을 위해 lag compensation을 사용한다.

즉, compenstor의 zero와 pole을 원점에 가깝게 두면 dynamic response에서는 영향이 크게 없지만, $s=0$을 넣은 정상상태 상황에서는 zero가 pole보다 크게 되면 정상상태 오차가 줄어드는 상황을 만들 수 있다.

ex)

Velocity constant : $K_v=\lim_{s\rightarrow0}sKDG=\lim_{s\rightarrow0}s(91)\frac{s+2}{s+13}\frac{1}{s(s+1)}=14$

root locus의 변화가 거의 없는 상태에서 $K_v$를 키우고 싶다.($K_v=70$)

lag compensation :

이렇게 되면 dynamic response에는 변화가 없고 steady state error만 줄일 수 있다.

Design Using Notch Compensation

Lead and lag compensation : $KD(s)=91\frac{s+2}{s+13}\frac{s+0.05}{s+0.01}$
이때, 시스템의 response가 아래 그림과 같이 50rad/sec 주기로 진동한다 가정해보자.

Plant transfer function uncluding the effect of flexibility :

진동을 포함한 plant에 대해서 compensation이 추가된 root locus를 그리게 되면 다음과 같다.

위 그림과 같이 pole이 RHP방면으로 이동하는 부분이 생기게 된다. 이를 해결하기 위해 몇가지 방법들이 있다.

• Gain stabilization : $\omega=50$ 영역에서는 loop gain을 충분히 줄이게 되면 50rad/sec에서 영향이 줄게 된다.(lag compensation을 사용한다.)

• Phase stabilization : zero를 추가를 해서 RHP 방면으로 나가는 부분을 zero로 수렴하게 하는 방법이다.

Notch filter를 사용해서 oscillation을 억제한다.