[선형대수학] 벡터 (Vector)

김보림·2024년 6월 20일

선형대수학

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백터의 정의

Vector는 라틴어로 물건을 운반하는 물체를 뜻함 (영어로 Carrier)
물체가 움직이는 것과 같이 어떠한 현상을 수학적으로 표현이 가능하게 한다
크기 + 방향성 으로 이루어진다
유클리드 벡터(Euclidean Vector), 기하 벡터(Geometric Vector), 공간 벡터(Spatial Vector) 라고 불린다
벡터와 대비하여 크기만을 갖는 대상을 스칼라(Scalar)라고 한다.

백터의 표기법

하나의 벡터를 나타낼 때 : $a , \vec{a}, \tilde{a}$
벡터의 크기만을 나타낼 때 : $\vert a \vert$
점A 에서 점B를 향하며, 크기 두점 사이를 잇는 선분의 길이인 벡터 : $\overrightarrow{AB}$
점 A를 화살표의 원점, 기점, 꼬리 점B를 화살표의 끝, 종점, 머리라고 표현

벡터의 성질

동등성 : 벡터는 크기와 방향만을 가진다.
원점이 일치하지 않더라도 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터이다.
영벡터 : 크기가 0인 벡터(방향성만 있음)
음벡터 : $-a$ 로 표시. 벡터 $a$ 자신에 더했을 때 결과가 0벡터가 되는 벡터
$-a$ 와 $a$ 는 크기는 같으나 방향이 정반대인 벡터를 의미한다.

벡터의 좌표와 성분

벡터를 표현하는 방법으로 공간에 좌표계를 설정하여 좌표 값을 사용할 수 있음
기하학적으로 벡터를 다루는 방법보다 편리하며, 보다 체계적으로 정확한 계산을 할 수 있음
가장 흔한 예로는 직각좌표계를 사용함. 한 벡터의 기점을 좌표계의 원점으로 하고 벡터의 종점의 좌표로 해당 벡터를 표시함

벡터의 성분은 각각의 좌표축에 벡터를 투영(Projection)시켜 얻는다
이를 성분벡터(Component vector)라 부르고 $a_x, a_y$ 로 표시한다
이것은 2차원 이상의 공간에서는 차원의 수 만큼 성분이 존재하며, 차원을 확장하여 적용이 가능하다
$a = a_x + a_y$ 로 표현이 가능하다

단위벡터

단위벡터의 크기는 1이며 특정한 방향을 갖는다

벡터의 방향만을 나타낼 뿐 차원과 단위는 없다

3차원의 직각좌표계( $x,y,z$ )가 주어질 때, 각 좌표축에 나란한 방향을 갖는 단위벡터를 각각 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 로 나타낸다

기저벡터(basis vectors)라고도 부름

$a = a_x\hat{i} + a_y\hat{j} + a_z\hat{k}$

$a = (a_x,a_y,a_z)$

벡터의 더하기

기하학적 방법1 : 삼각형법(Tail-to-tip method)

$r = a + b$
덧셈의 교환법칙 성립. 두 벡터의 순서가 바뀌어도 결과는 같음
$a+b=b+a$
덧셈의 결합법칙 성립. 더하는 벡터가 두개 이상이여도 더하는 순서 상관없이 동일한 결과
$(a+b)+c=a+(b+c)$

기하학적 방법2 : 평행사변형법(Parallelogram method)

b를 평행 이동하여, a와 b의 꼬리를 일치시킨 후, 두 벡터를 인접한 두 변으로 하는 평행사변형을
그렸을 때, 두 벡터의 꼬리에서 시작하는 평행사변형의 대각선이 a와 b의 합벡터에 해당됨

성분을 이용한 대수적인 방법

두 벡터가 동일하다면 대응하는 벡터의 성분이 반드시 같아야 함
$r = r_x + r_y$
$r_x = a_x + b_x$ , $r_y = a_y + b_y$

벡터의 뺄셈

자기 자신과 크기는 같고 방향이 정반대인 음벡터의 정의를 이용하면 됨
$r = a – b$ 의 양쪽에 $b$ 를 더한 후 결합법칙과 교환법칙을 적용하여 연산의 순서를 정리하면 $a = b + r$ 을 얻을 수 있음

벡터의 곱셈

벡터의 내적

내적은 벡터를 마치 수처럼 곱하는 개념임
벡터에는 방향이 있으므로, 방향이 일치하는 만큼만 곱함
두 벡터의 방향이 같으면, 두 벡터의 크기를 그냥 곱함
두 벡터가 이루는 각이 90도 일 땐, 일치하는 정도가 전혀 없기 때문에 내적의 값은 0
내적은 한 벡터를 다른 벡터로 투영(Projection), 정사영 시켜서, 그 벡터의 크기를 곱함
$\vec{a}\cdot\vec{b} =\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert cos\theta$
단위벡터( $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ )는 곱셈에 사용되지 않고 스칼라 값들만 계산
$a\cdot\ b = (a cos\theta)b = a(b cos\theta)$
$a\cdot\ b = b\cdot\ a$ (scalar 곱셈은 교환법칙 성립)
$a\cdot\ b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$

벡터의 외적

외적의 결과 값은 벡터. 방향은 두 벡터 a 와 b 가 이루는 평면에 수직이다
$r = absin\theta$
$a \times b = -b \times a$
$\vert\vec{a} \times \vec{b}\vert =\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert sin\theta$
$a \times\ b = (a_yb_z-a_zb_y)\hat{i}+(a_zb_x-a_xb_z)\hat{j}+(a_xb_y-a_yb_x)\hat{k}$
직각좌표계에서 단위 벡터들은 서로 수직하므로, 서로 다른 단위벡터들의 벡터곱은 크기가 1이고 나머지 단위벡터에 나란한 방향임
$\hat{i} \times \hat{j}=\hat{k}$ , $\hat{j} \times \hat{k}=\hat{i}$ , $\hat{k} \times \hat{i}=\hat{j}$
$\hat{i} \times \hat{i}=\hat{j} \times \hat{j}=\hat{k} \times \hat{k}=0$