적분을 이용한 구의 부피 구하기

Bryant·2025년 10월 20일
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수학

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적분을 이용한 구의 부피 구하기

구의 방정식은

x2+y2+z2=r2x^2 +y^2 +z^2 = r^2

특정 높이에서 자른 단면에서 구의 방정식은

y2+z2=r2−x2 (단,x는상수)y^2 + z^2 = r^2 - x^2 ~(단, x는 상수)

이며 반지름이 r2−x2\sqrt{r^2-x^2}인 원의 방정식이 된다. 자른 단면의 반지름 p=r2−x2p = \sqrt{r^2 - x^2}로 두었을 때, 자른 단면의 구의 넓이는 다음과 같이 정의된다.

πp2=π(r2−k2)\pi p^2 = \pi(r^2-k^2)

이를 적분하면,

V=∫−rrπ(r2−k2)dxV = \int_{-r}^{r} \pi(r^2-k^2)dx

계산하면

V=π[r2x−x33]−rr=π(2r3−2r33)=43πr3V= \pi [r^2x - \frac{x^3}{3}]^r_{-r} = \pi(2 r^3 -\frac{2r^3}{3})=\frac{4}{3}\pi r^3
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