Vector DB: 벡터 크기(Norm)와 Dot Product 관계

여기 참고: 노름(Norm)

벡터 크기와 Dot Product 관계

1. 벡터 크기(Norm)

• 벡터의 길이(유클리드 노름, Euclidean Norm)

$|A\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}$

• 특징: 각 차원의 값이 클수록 크기 증가

• 예

  • $A = [1, 1]$ → $\sqrt{2} \approx 1.414$

  • $B = [10, 10]$ → $\sqrt{200} \approx 14.142$

2. Dot Product와 Cosine의 관계

$A \cdot B = \|A\| \|B\| \cos{\theta}$

• $\|A\|, \|B\|$ → 크기(Euclidean Norm)

• $\cos{\theta}$ → 방향 유사도(Cosine Similarity)

• 의미: Dot Product = 크기 × 방향 유사도

  → "패턴 + 강도"를 동시에 반영

3. 예시 계산

예시	A	B	Norm(A)	Norm(B)	Cosine	Dot Product
예1	[1,1]	[2,2]	1.414	2.828	1	4
예2	[100,100]	[200,200]	141.421	282.843	1	40,000

주어진 값

• A = [100, 100]

• B = [200, 200]

• 방향 동일

  • $\theta = 0$ → $\cos\theta = 1$

1. Norm(A) 계산

$\|A\| = \sqrt{100^2 + 100^2} = \sqrt{10000 + 10000} = \sqrt{20000}$

$\sqrt{20000} = \sqrt{2 \times 10000} = \sqrt{2} \times 100 \approx 1.41421356 \times 100 \approx 141.421356$

2. Norm(B) 계산

$\|B\| = \sqrt{200^2 + 200^2} = \sqrt{40000 + 40000} = \sqrt{80000}$

$\sqrt{80000} = \sqrt{8 \times 10000} = \sqrt{8} \times 100 \approx 2.82842712 \times 100 \approx 282.842712$

3. Cosine θ

• 방향 동일 → $\theta = 0$ → $\cos\theta = 1$

4. Dot Product 계산

• 공식

  • $A \cdot B = \|A\| \times \|B\| \times \cos\theta$

• 대입

  • $= 141.421356 \times 282.842712 \times 1$

• 곱셈

  • $\approx 40000.000$

💡 포인트

• Norm(A) × Norm(B) × Cosine θ = Dot Product 공식이 그대로 성립
• 방향이 같으면 Cosine θ = 1 → Norm 곱이 곧 내적 값
• 여기서는 Norm 곱이 40000이므로 내적도 40000

4. 근삿값 사용 이유

• 무리수(√2, π)는 끝없는 소수 → 컴퓨터는 부동소수점으로 근사 저장

• 실무에서 기호보다 근삿값 사용

  • 코드: math.sqrt(2) → 1.4142135623 (double precision)

  • 보고서: 1.41 또는 1.414 (가독성)

• 정밀도 선택

  • 보고서/프레젠테이션: 소수점 2~3자리

  • 계산 코드: float(6~7자리) 또는 double(15자리)

  • 고정밀 분야(금융, 물리): 더 많은 자리수 유지

5. 실무 패턴 요약

상황	표기 방식	이유
수학 이론 설명	√2, π	의미 명확
데이터 분석 코드	1.4142135	컴퓨터 연산은 근삿값
보고서/프레젠테이션	1.41	가독성
고정밀 계산	1.4142135623	오차 최소화