이 글은 이것이 취업을 위한 코딩테스트다 with 파이썬을 읽고 작성하였습니다.
가장 빠르게 도달하는 방법
최단 경로 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘입니다.
그래서 '길 찾기' 문제라고도 불립니다.
최단 경로는 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우', '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'등의 다양한 예시가 있습니다.
보통 그래프를 이용해 표현하는데 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고 지점간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현됩니다.
그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있습니다. 다시 말해 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘 및 다이나믹 프로그래밍 알고리즘 한 유형으로 볼 수 있습니다.
개요
다익스트라 알고리즘은 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 최단 경로 알고리즘입니다. 그에 반해 플로이드 워셜 알고리즘은 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘입니다.
다익스트라 알고리즘은 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택합니다. 그리고 해당 노드를 거쳐 가는 경로를 확인하며, 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작합니다.
플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행합니다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다릅니다. 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N x N)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는'모든 경로를 고려합니다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총시간 복잡도는 O(N x N x N) 입니다.
다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해서 1차원 리스트를 이용했습니다. 반면에 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과 다르게 2차원 리스트에 '최단 거리' 정보를 저장한다는 특징이 있습니다. 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문입니다. 다시 말해 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O(N * N)의 시간이 소요됩니다.
또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍이라는 특징이 있습니다. 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 떄문에 다이나믹 프로그래밍이라고 볼 수 있습니다.
점화식은 위와 같데 말로 풀어 설명하면 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용'을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 것입니다. 즉 '바로 이동하는 거리'가 '특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리'보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다는 것입니다.
플로이드 워셜 구현
예시
위와 같은 그래프가 있을 때 다음처럼 초기 테이블을 설정합니다. 초기 상태인 step 1에서는 '연결된 간선'은 단순히 그 값을 채워 넣고, 연결되지 않은 간선은 '무한'이라는 값을 넣습니다. 2차원 리스트에서 각 값에 해당하는 D_ab는 'a에서 b로 가는 최단거리'입니다.
자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0이므로, (1 <= i <= n)의 범위를 가지는 모든 i에 대하여 Dii는 0이라는 값으로 초기화합니다.
- 단순히 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려합니다. 이때는 정확히 다음과 같이 6 = 3 팩토리얼 2가지의 경우에 대해서만 고민하면 됩니다. 2차원 테이블에서는 다른 색으로 칠하고 계산해야 할 값들은 구체적으로 다음과 같습니다.
이 6가지 경우만 하나씩 확인하며 값을 계산하여 갱신합니다. 예를 들어 첫 번째에 해당하는 '기존의 2번 노드에서 3번 노드로 가는 비용'보다 '2번 노드에서 1번 노드를 거쳐 3번 노드로 가는비용'이 더 작다면, 그것으로 갱신해주겠다는 의미를 가집니다. 그래서 𝐷_23의 값은 D_23과 (D_21 + D_23) 중에서 더 작은 값으로 교체됩니다. 다시 말해 1을 거쳐 갈 때가 더 빠른 경우가 존재한다면 빠른 경우로 최단 거리를 갱신해주는 식입니다.
위의 하늘색 부분 6가지 식을 모두 계산하여 값을 갱신하면 테이블이 다음과 같이 바뀝니다. 예를 들어 D_24는 원래 '무한'의 값을 가졌는데, D_21 + D_14 = 9와 비교해서 9로 갱신됩니다.
- 1번 과정과 마찬가지로 알고리즘을 차례로 수행합니다. 이번에는 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 계산해야 하므로 2번 노드를 제외한 1번, 3번, 4번 노드에서 2개의 노드를 뽑는 경우를 고려합니다. 정확히 (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 4), (4, 1), (4, 3)으로 6가지 경우가 있습니다.
마찬가지로 하늘색 부분에 대해서만 고려하면, 갱신 결과는 아래와 같습니다. 예를 들어 원래 D_13은 '무한'의 값을 가졌는데, D_12 + D_23 = 11과 비교해서 11로 갱신됩니다.
- 이와 같은 과정을 노드의 개수만큼 반복하면 테이블이 모든 노드에서 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 표현하게 됩니다. 예를 들어 D_13(첫 번째 행의 세번째 열)은 8이라는 값을 가지는데, 이는 1번 노드에서 3번 노드로 가는 최단 거리가 8이라는 의미입니다.
코드
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라서 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY) 라고 출력
if graph[a][b] == INF:
print("INFINITY")
else:
print(graph[a][b], end = " ")
print()