1.1 Systems of Linear Equations

조범희 선생님의 선형대수학개론 강의를 듣고 공부하며 정리한 내용입니다.
정말 좋은 강의힙니다. 강추합니다. 링크

Linear Equations

$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+\cdots+a_nx_n = b$

꼴의 Equation을 Linear Equation 이라고 한다

이때, $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ 를 Coefficient 라고 한다.

$a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, b$ 는 real or complex numbers 이다.

예컨대 $4x_1 - 5x_2 = x_1x_2$ 은 Linear Equation 이 아니다.
→ $x_1x_2$ 로 인해

System of Linear Equation

def) A collections of one or more linear equations

(하나여도 상관없다)

Solution Set

The set of all possible solutions of the linear system

Two linear systems are called equivalent if they have the same solution set

A system of linear equations has either

1. no solution (inconsistent), or
2. exactly one solution (consistent), or
3. infinitely many solutions (consistent)

no solution 이면 inconsistent
solution 이 존재 하면 consistent 임을 기억해두는게 좋다
(이 부분에서 System of Linear Equation 이 무조건 세 경우 중 하나라는 것은 두 직선의 위치관계와 함께 생각해서 이해했었는데 링크 의 영상을 보고 visualization 할 수 있었다. 덧붙이자면, unique one solution 이 되려면, 해를 구해야 하는 변수의 갯수만큼 유효한 linear equation 이 필요할 것이고, 그 equation 들이 오직 한 점에서 동시에 만나야 할 것이다.)

Matrix Notation

$\begin{aligned}x_1-2x_2+x_3 = 0\\2x_2-8x_3=8\\-4x_1+5x_2+9x_3=-9\end{aligned}$

이와 같은 꼴의 Linear Equation을 Matrix로 바꾸어 표현해보자.

이때 두 방식으로 표현할 수 있는데

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ -4 & 5 & 9 \end{bmatrix}$

위의 방식을 coefficient matrix (3x3)

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ -4 & 5 & 9 & -9 \end{bmatrix}$

위의 방식을 augmented matrix (3x4)

라고 한다.

 

Example of solving a system of Linear Equation

ex1. Solve the follwing system of linear equations

$x_1-2x_2+x_3 = 0\\2x_2-8x_3=8\\-4x_1+5x_2+9x_3=-9$

위와 같은 Linear Equations을 풀어보자

Matrix로 나타내면 $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ -4 & 5 & 9 & -9 \end{bmatrix}$ 와 같다

먼저 replacement를 한다.
(어떤 Equation 에서 특정 variable을 소거하고 원래의 Equation과 교체하는 것을 replacement라고 한다)

그 결과로

$\begin{aligned} eq(1)\quad x_1-2x_2+x_3 = 0\\ eq(2)\quad 2x_2-8x_3=8\\ eq(3a)\quad -3x_2+13x_3=-9 \end{aligned}$

eq(3a)가 생기고 matrix로는

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 0 & -3 & 13 & -9 \end{bmatrix}$ 라고 나타낼 수 있다

 
 

이어서 scaling 을 해준다.
(상수를 곱해 소거에 사용되기 쉬운 equation 으로 바꾸는 것)

$\begin{aligned} eq(2)\quad \frac{1}{2}*(2x_2-8x_3=8)\\ \rule{6cm}{0.4pt}\\ eq(2a)\quad x_2-4x_3=4 \end{aligned}$

그 결과로 eq(2a)가 생긴다.

$\begin{aligned} eq(1)\quad x_1-2x_2+x_3 = 0\\ eq(2a)\quad x_2-4x_3=4\\ eq(3a)\quad -3x_2+13x_3=-9 \end{aligned}$     $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & -3 & 13 & -9 \end{bmatrix}$

이후 과정은 식만 남겨두고 설명을 생략한다.

$\begin{aligned} eq(2a)\quad 3*(x_2-4x_3=4)\\ eq(3a)\quad +(-3x_2+13x_3=-9)\\ \rule{6cm}{0.8px}\\ eq(3b)\quad x_3=3 \end{aligned}$

$\begin{aligned} eq(1)\quad x_1-2x_2+x_3 = 0\\ eq(2a)\quad x_2-4x_3=4\\ eq(3b)\quad x_3=3 \end{aligned}$     $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

(중략)

$\begin{aligned} eq(1a)\quad x_1-2x_2=-3\\ eq(2b)\quad x_2=16\\ eq(3b)\quad x_3=3 \end{aligned}$     $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{aligned} eq(1)\quad x_1-2x_2+x_3 = 0\\ eq(2a)\quad x_2-4x_3=4\\ eq(3b)\quad x_3=3 \end{aligned}$     $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 29 \\ 0 & 1 & 0 & 16 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

Elementary Row Operations

예제를 풀 때 사용된

replacement

interchange

scaling

을 Elementary Row Operations 이라고 한다.

Two matrices are row equivalent if there is a sequence of elementary row operations that transforms one matrix into the other

If the augmented matrices of two linear systems are row equivalent, then the two systems have the same solution set.