행렬 A가 주어졌을 때, 행렬 A로 부터 eigenvalue와 eigenvector를 구하는 법을 알았다. 다음으로 A의 eigenvector들이 column으로 하여 행렬 를 만들었고, 이 와 를 이용하여 A로부터 diagonal 행렬 를 만들었다. 는 A의 eigenvalue들이 diagonal entry로 존재하게 된다. 그리고 A가 symmetric한 경우에 우리는 대신에 를 사용해서 eigenvector를 orthonormal하게 고르고, 만약 real number에서 complex number 범위가 된다면 Hermitian으로 표기한 뒤 대신에 를 사용하여 eigenvector를 적었다.
이제 우리는 새로운 행렬 M에 대해서 이야기해보고자 한다.
우리가 이전에 배운 S 행렬도 대표적인 M에 해당하는 행렬이다. 그리고 I는 어떠한 행렬에 곱해져도 자기 자신이 된다. I도 M에 해당한다고 볼 수 있다. 이 M은 기존 행렬의 양쪽에 곱해짐으로써 변형된 형태를 일으키게 된다. 우리는 이를 similarity transformation이라 하고, 우리는 이 M의 특징과 종류에 대해서 다양하게 알아볼 것이다.
여기서 우리는 조심해야하는 부분이 eigenvalue가 같다고 해서 전부 similar한 것은 아니다. 이 역인 similar하면 eigenvalue가 같다는 성립이 되지만, eigenvalue가 같다고 해서 similar하지 않음을 주의해야 한다.
그리고 우리는 추가적으로 성립하는 내용들을 살펴보고자 한다.
당연히 받아들일 수 있는 내용들일 것이다. A가 B에 대해서 similar하다는 것은 반대로 B도 A에 대해서 similar할 것이다. 이는 우리가 similar의 정의상 행렬 양쪽에 M과 M의 inverse를 곱해줄 수 있기 때문이다. 그리고 자기 자신에 대해서도 similar하다는 것은 M에 I를 대입해보면 간단하게 알 수가 있다.
