Compensator

제어기를 설계할 때는 우선적으로 $K_p$값을 선정하여 $e_{ss}$를 줄이고, B.W.를 확보합니다.
$K_p$만으로 안된다면 $K_i$도 추가하면 되지만 이때는 과도응답특성이 보장되지 않습니다.
gain을 설계한 후에도 $P.M.$이 부족하다면, 이때는 compansator($G_c$)를 설계하여 $P.M.$을 증가시켜야 합니다.

보상기 $G_c$를 추가하게 되면 최종적으로 open-loop transfer function은 $KG_CGH$가 됩니다.
복소수의 특성으로 인하여 총 Phase는 $\angle K +\angle G_c +\angle G +\angle H$가 되는 특성을 이용하여 쉽게 Phase를 끌어 올리거나 내릴 수 있습니다.

보상기는 다음과 같이 설계됩니다.

Phase Lead Compensator (진상보상기)

특정 주파수에서 Phase를 끌어올림으로써 $P.M.$을 확보하는 방식입니다.

B.W.가 증가하기 때문에 B.W.를 좀 더 키울 필요가 있다면 Phase lead compensator를 사용하는 것이 좋습니다.

설계

1. $K_p$나 $K_i$를 사용하여 $e_{ss}$를 줄여 steady state error 조건을 만족시킵니다.
2. 원하는 댐핑계수를 얻기위한 $P.M.$을 계산하여 추가로 확보해야하는 Phase lead $\phi_m$을 정합니다. ( $if\;\;P.M.<60\degree,\;\;then\;\;\zeta=\frac{P.M.}{100}[deg]$)
3. $\sin\phi_m=\frac{\alpha-1}{\alpha+1}$을 이용하여 $\alpha$를 결정합니다.
4. 개루프 전달함수 $KG(j\omega)H(j\omega)$로부터 gain이 $-10\log\alpha[dB]$가 되는 $\omega_m$을 정합니다.
5. $\omega_m=1/(\tau\sqrt\alpha)$ 식으로부터 $\tau$를 결정합니다.
6. $KG_cGH$의 bode plot을 그리고 $P.M.$을 확인하고 부족하다면 3번부터 다시 시작합니다.

보상기의 최종결과는 다음과 같습니다.

Example

전체 closed loop system에 대하여 $T_s\leq4, \zeta \geq0.45$가 되도록 설계하여라.

solve)

1. $K_1$을 결정합니다.

   가장 먼저 $\zeta$를 안정하게 최솟값으로 잡고 $\omega_n$을 알아냅니다.

   $T_s=\frac{4}{\zeta}{\omega_n}\;(2\%\;criterion)\\ 4\geq\frac{4}{\zeta\omega_n} \omega_n\geq\frac 1\zeta=\frac1{0.45}=2.22\;(\because minimal\; \zeta)$

   $\frac YR=\frac{\frac{K_1}{s^2}}{1+\frac{K_1}{s^2}}=\frac{K_1}{s^2+K_1}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}(\because 2차\,시스템의\,standard\,form)\\ \rarr \sqrt{K_1}=\omega_n\geq2.22\\ \rarr K_1\geq4.93$

   안전계수를 고려하여 $K_1$을 10으로 특정합니다.

2. $P.M.$을 결정합니다.

   openloop 전달함수는 $K_1G=\frac{K_1}{s^2}=\frac{10}{(j\omega)^2}=-\frac{10}{\omega^2}$입니다.
   Magnitude = $20\log_{10}|-\frac{10}{\omega^2}|$이므로 각 주파수에서 gain은 다음과 같습니다.

   $\omega=1 \rarr 20\\ \omega=\sqrt{10} \rarr0\\ \omega=10 \rarr -20$

   따라서 gain이 0이 되는 순간의 $P.M.$은 $\omega=\sqrt{10}$이 되는 순간입니다.

   $phase=\angle K_1G=\angle \frac {10}{s^2}=\angle\frac{10}{(j\omega)^2}=\angle(-1)=-180\degree$

   따라서 $P.M.=0\degree$입니다.
   $P.M.$이 없이 때문에 단진동하는 제어 모델이 될 것이기 때문에 Compensator를 추가하여 $P.M.$을 확보하여야 합니다.

3. $\zeta=0.45$가 되기 위한 추가적인 $P.M.(\phi_m)$을 선정합니다.

   phase가 $60\degree$ 이하일 때 근사할 수 있는 $\zeta=\frac{P.M.}{100}$식을 이용하면, $\phi_m=0.45\times100=45\degree$입니다.

4. $\alpha$와 $\tau$, $\omega_m$을 특정합니다.

   $\sin\phi_m=\frac{\alpha-1}{\alpha+1}\\ \rarr\alpha=5.828\\\,\\ -10\log_{10}\alpha=-7.655dB$

   따라서 보상시스템의 크기는 비보상시스템보다 $7.655dB$ 큰 값을 가지게 됩니다.
   새로운 주파수 $\omega_m$은 magnitude를 구하는 식으로부터 알 수 있습니다.

   $20\log_{10}|\frac{10}{s^2}|=-7.655\\\;\\ 20\log_{10}\frac{10}{\omega_m^2}=-7.655\\\;\\ \omega_m=4.91$

   여기서 $\tau$는 $\omega_m=\frac{1}{\tau\sqrt\alpha}$입니다.

   $\omega_m=\frac 1{\tau\sqrt\alpha}\\\;\\ \tau=\frac{1}{\omega_m\sqrt\alpha}=\frac{1}{4.91\sqrt{5.828}}=0.0844$

5. 최종적으로 보상기 $G_c$는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

   $G_c(s)=\frac{1+\alpha\tau s}{1+\tau s}=\frac{1+0.49s}{1+0.0844s}\approx\frac{1+s/2}{1+s/12}$

Phase leg Compensator (지상보상기)

Magnitude를 낮춤으로써 gain이 0이 되는 지점을 낮추어 $P.M$을 확보하는 방식입니다.

B.W.가 감소하기 때문에 B.W.가 충분하다면 사용하는 Phase lead compensator를 사용하는것이 좋습니다.

설계

1. $K_p$나 $K_i$를 사용하여 $e_{ss}$를 줄여 steady state error 조건을 만족시킵니다.
2. 원하는 댐핑계수를 얻기위한 $P.M.$을 계산하여 추가로 확보해야하는 Phase lead $\phi_m$을 정합니다. ( $if\;\;P.M.<60\degree,\;\;then\;\;\zeta=\frac{P.M.}{100}[deg]$)
3. $\phi_m+5$를 어을 수 있는 주파수 $\omega'_c$를 선정합니다.
4. $\omega'_c$에서 $G(s)H(s)$의 게인을 읽고 $\omega'_c$에서의 gain은 0dB이 되게 하고 $Phase$는 유지하기 위해 다음과 같은 조작을 합니다.
5. $\omega'_c\over10$의 주파수에 conpensaotr의 zero를 일치시킵니다.
   $\tau=10/\omega'_c$
6. $20\log_{10}|G(j\omega_c)H(j\omega_c)=20\log_{10}\alpha$

보상기의 최종 결과는 다음과 같습니다.

Example

전체 closed loop system에 대하여 unit ramp 입력시 $e_{ss}\leq\frac1{40}, \zeta \geq0.45$가 되도록 설계하여라.

solve)

1. $G_c(s)$가 없다고 가정하고 $K$를 결정합니다.

   $condition:\;e_{ss}\leq \frac1{40}\\\;\\ E(s)=R(s)-Y(s)=\frac{1}{1+K_1G}\\\;\\ \begin{aligned} e_{ss}\leq\displaystyle\lim_{s\rarr0}s\cdot E(s)&=\displaystyle\lim_{s\rarr0}s\cdot\frac{1}{1+\frac{K_1}{s(s+2)}}R(s)\\ &=\displaystyle\lim_{s\rarr0}s\cdot\frac{s^2+2s}{s^2+2s+K_1}\cdot\frac1{s^2}\\ &=\frac{1}{K_1}\leq\frac{1}{40}\end{aligned}\\ K_1\geq40$
   안전계수를 고려하여 최소한의 $K_1$, 즉 $40$으로 잡습니다.

2. $P.M.$을 결정합니다.

   $\frac{40}{j\omega(j\omega+2)}$의 $P.M.$은 Bode Plot을 통하여 $18\degree$라는 것을 알 수 있습니다.
   
   phase가 $60\degree$ 이하일 때 근사할 수 있는 $\zeta=\frac{P.M.}{100}$식을 이용하면, $\phi_m=0.45\times100=45\degree$입니다.

   $P.M.=100\times0.45=45\degree$

   필요한 $P.M.$은 $45+5=50\degree$을 얻을 수 있는 주파수 $\omega_c'$는 Bode Plot을 통해 약 $1.5rad/sec$라는 것을 알 수 있습니다.

3. $\tau$를 결정합니다.

   $\tau=\frac{10}{\omega_c'}=6.67$

4. $\alpha$를 결정합니다.

   $\omega_c'=1.5$일 때, $\frac{40}{j\omega(j\omega+2)}$의 Gain은 다음 식을 이용하여 구할 수 있습니다.

   $\alpha=\left\lvert\frac{40}{j\omega_c(j\omega_c+2)}\right\rvert=10.67$

5. 최종적으로 보상기 $G_c$는 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

   $G_c(s)=\frac{1+\tau s}{1+\alpha\tau s}=\frac{1+6.67s}{1+71.17s}$