[실해석학] 5. 르벡 가측함수

르벡 가측함수 Lebesgue Measurable Function

1. Sums, Products, and Compositions

르벡 가측함수의 정의

다음 조건을 만족시키는 실함수 $f:E \to \Bbb R$ 는 르벡 가측함수Lebesgue Measurable Function이다:

1) 정의역 E가 가측집합이다.
2) 임의의 실수 $c\in \Bbb R$에 대해 집합 $\{x\in E|f(x)\gt c\}$가 가측집합이다.
(단, 2에서 부등호의 방향 및 등호 포함 유무는 무관함)

위 정의를 바탕으로 르벡가측함수(앞으로 가측함수라고 부르기로 한다)에 대해 다음 명제들이 성립한다.

Prop 실함수 $f$가 가측함수인 것은 임의의 열린 집합 $O$에 대한 역상inverse image $f^{-1}(O)$ 이 가측인 것과 동치이다.

Prop 실함수 $f:E\to \Bbb R$가 $E$에서 연속일 때 $E$가 가측집합이면 $f$는 가측함수이다.

pf. Since $f \in C(E)$, for open set $O$,
$f^{-1}(O)$ is also open set. Thus $f^{-1}(O) = E \cap U$ with open set $U$.

THM E에서 a.e.finite한 가측 실함수 $f, g$에 대해 다음 성질이 성립한다.(a.e에 대한 개념은 이전 포스트 참조)

1. 선형성 : 임의의 $\alpha, \beta \in \Bbb R$에 대해 $\alpha f + \beta g$ 는 E에서의 가측함수이다.
2. $fg$는 E에서 가측함수이다.

2. 점별수렴과 단순함수로의 근사

Def 함수열 $f_n$이 $A$에서 $f$로 점별수렴pointwise converge한다:

Prop
함수열 {$f_n$}이 $E$에서 measurable하고, $f$로 a.e. on $E$ 에서 점별수렴한다면 $f$도 $E$에서 가측함수이다.

Def Simple Function (단순 함수)
$\varphi : E \to \Bbb R$ 이 가측 함수이고 치역의 원소가 유한개일 때 함수 $\varphi$를 단순 함수라고 한다.
만약 $\varphi$의 치역이 $\varphi(E) =$ {$c_1 \ldots c_n$} 으로 주어지면 다음 표현을 $\varphi$의 Canonical Representation이라고 한다.

$\sum_{k=1}^n c_k\cdot \chi_{E_k}$

where $E_k = \{x \in E : \varphi(x) = c_k\}$

Simple Approximation Lemma

E에서의 실함수 $f$가 유계이고 가측함수라 하자. 이때, 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 단순 함수 $\varphi_\epsilon, \psi_\epsilon$ 가 존재하여

$\varphi_\epsilon \leq f \leq \psi_\epsilon \\ 0 \leq \psi_\epsilon - \varphi_\epsilon < \epsilon$

를 만족한다.

Simple Approximation THM

가측집합 E와 E에서의 실함수 $f$에 대해 다음은 동치이다.
1. $f$가 가측함수이다.
2. 집합 E에 $f$로 점별수렴하는 단순함수열 {$\varphi_n : n \in \Bbb N$} 이 존재하고 모든 $n$에 대해 $|\varphi_n| \leq |f|$ 를 만족한다.

Reference

• Real Analysis, Royden