[실해석학] 8. 르벡 적분(2)

김당찬·2022년 2월 20일
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Lebesgue Integral

General Lebesgue Integral

Def
함수 ff에 대해 다음 두 nonnegative 함수를 정의하면

  • f+=max⁡(f,0)f^+ = \max(f, 0)
  • f−=−min⁡(f,0)f^-= -\min(f, 0)
∣f∣=f++f−f=f+−f−|f| = f^+ +f^- \\f = f^+-f^-

임을 알 수 있다.

위 두 함수는 nonnegative function 이므로, 이전에 정의한 nonnegative function의 르벡 적분을 이용해 가측함수 ff에 대한 르벡 적분을 정의할 수 있다.

정의

가측함수 ff의 르벡적분은 다음과 같이 정의한다.

∫Ef=∫Ef+−∫Ef−\int_E f = \int_Ef^+ - \int_E f^-

또한, Prop13 에 의해 ff가 EE에서 르벡적분가능하다면 ff는 a.e. on EE 에서 유한하다는 것을 알 수 있다.

The Lebesgue Dominated Convergence THM르벡 지배수렴정리, LDCT

EE에서의 가측함수열 <fnf_n>과 적분가능한 함수 gg가 존재하여

∣fn∣≤g for ∀n|f_n| \leq g \text{ for } \forall n

을 만족할 때 (gg가 ff를 지배함dominate),
EE의 a.e 에서 fnf_n이 ff로 점별수렴한다면 ff도 EE에서 적분가능하고,

lim⁡n∫Efn=∫Ef\lim_n\int_Ef_n = \int_Ef

이다.

➕ 또한 이를 일반화하면(General LDCT),
함수 gg 대신에 점별수렴하는 가측함수열 {gng_n}을 이용해 ∣fn∣≤gn|f_n|\leq g_n 조건에서

lim⁡n∫Egn=∫Eg<∞⇒lim⁡n∫Efn=∫Ef\lim_n\int_Eg_n = \int_Eg<\infty \Rightarrow \lim_n\int_Ef_n = \int_E f

으로 사용할 수도 있다.

르벡 적분의 가산가법성과 연속성

르벡 적분의 가산가법성

르벡적분가능한 함수 f:E→Rf:E\to R과 E=⋃n=1∞EnE = \bigcup_{n=1}^\infty E_n을 만족하는 서로소인 집합열 {En}\{E_n\} 에 대해

∫Ef=∑n=1∞∫Enf\int_Ef = \sum_{n=1}^\infty \int_{E_n}f

가 성립한다.

르벡 적분의 연속성

증가하는 가측집합열 (르벡 측도의 연속성에서 사용한 개념과 동일) {EnE_n}에 대해,

∫⋃∞Enf=lim⁡n∫Enf\int_{\bigcup^\infty E_n}f = \lim_n\int_{E_n}f

▶️ 감소하는 집합열에서도 가산무한교집합(Countable Intersection)에 대한 연속성 역시 성립한다.

균등적분가능성

Lemma

유한 측도 집합 EE와 δ>0\delta >0에 대해 집합 EE는 측도가 δ\delta보다 작은, 서로소인 집합들의 유한 합집합으로 나타낼 수 있다.

Lemma2

집합 EE 에서의 가측함수 ff에 대해 ff가 적분가능하다면 임의의 ϵ>0\epsilon >0 에 대해 다음을 만족하는 양수 δ\delta가 존재한다.

A⊆E is measurable, m(A)<δ⇒∫A∣f∣<ϵA \subseteq E \text{ is measurable, } m(A)\lt \delta \Rightarrow \int_A|f|\lt \epsilon

균등적분가능성Uniform integrability의 정의

다음 조건을 만족할 때 EE에서의 가측함수들의 집합족 F\mathcal F 가 EE에서 균등적분가능하다고 정의한다.

임의의 ϵ>0\epsilon>0에 대해 다음을 만족하는 δ>0\delta >0이 존재한다 :
각각의 f∈Ff \in \mathcal F 에 대해 m(A)<δm(A)<\delta 인 A⊆EA \subseteq E가 존재하여 ∫A∣f∣<ϵ\int_A|f|<\epsilon 을 만족한다.

즉, 균등적분가능성은 단일 함수가 아닌 함수들의 모임에 대해 적용되는 개념이다.

Prop EE에서의 유한함수열 {fk}k=1n\{f_k\}_{k=1}^n 가 모든 kk에서 적분가능할 때, 함수열 {fk}k=1n\{f_k\}_{k=1}^n 는 균등적분가능하다.

∵\because Lemma 2에 의해 각각의 kk에 대해 명제의 조건을 만족하는 δk\delta_k를 잡을 수 있고 δ=min[δk]1∞\delta = min[\delta_k]_1^\infty 로 잡으면 본 명제는 성립한다.

Prop 25 유한측도집합 EE에서 균등적분가능한 함수열 {fnf_n}이 ff로 점별수렴할 때 함수 ff는 EE에서 적분가능하다.

Vitali Convergence THM비탈리 수렴정리, VCT

유한측도집합 EE에서 균등적분가능한 함수열 {fnf_n}이 ff로 a.e. on EE에서 점별수렴하면 ff는 EE에서 적분가능하고,

lim⁡n∫Efn=∫Ef\lim_n \int_Ef_n = \int_Ef

이 성립한다.

pf. Prop 25에 의해 ff의 적분가능성은 확인가능하고, 적분가능하므로 a.e. on EE에서 유한하다.
측도 0인 집합을 Excise하여 점별수렴이 E의 모든 점에서 성립한다고 가정하자. 이때, 임의의 EE의 가측인 부분집합 AA에 대해

∣∫Efn−∫Ef∣≤∫E∣fn−f∣=∫E\A∣fn−f∣+∫A∣fn−f∣≤∫E\A∣fn−f∣+∫A∣fn∣+∫A∣f∣\begin{aligned} |\int_Ef_n - \int_Ef| &\leq \int_E|f_n-f|\\ &= \int_{E\backslash A}|f_n-f| + \int_A|f_n-f| \\ &\leq \int_{E\backslash A}|f_n-f| + \int_A|f_n| + \int_A|f| \end{aligned}

가 성립하고, 균등적분가능성으로부터 m(A)<δm(A)<\delta 일 때 ∫A∣fn∣<ϵ/3\int_A|f_n|<\epsilon/3 인 δ\delta 를 잡을 수 있다.
또한, Fatou's Lemma 로부터 ∫A∣f∣<ϵ/3\int_A|f|<\epsilon/3 임을 알 수 있고, 예고로프의 정리 로부터

m(E0)<δ and fn⇉f on E  \  E0m(E_0)<\delta \text{ and } f_n \rightrightarrows f \text{ on }E\;\backslash \;E_0

를 만족하는 EE의 부분집합 E0E_0이 존재하므로,

n≥N⇒∣fn−f∣<ϵ3⋅m(E)n\geq N \Rightarrow |f_n-f|<{\epsilon \over 3 \cdot m(E)}

를 만족하는 자연수 N을 찾으면

∣∫Efn−∫Ef∣<ϵ|\int_Ef_n-\int_Ef|<\epsilon

이 성립한다.

Reference

  • Real Analysis, Royden
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김당찬
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