Metric Spaces

거리공간Metric Spaces

이번에서는 실해석학에서 다뤄지는 거리metric의 개념과, 이를 이용해 정의된 거리공간과 그 특성들에 대해 대략적으로 다루어보고자 한다. 해석개론에서 다루어지는 기본적인 열린/닫힌 집합의 개념과 열린/닫힌 집합에서의 수열과 같은 내용들은 분량상 생략하도록 하겠다.

정의

우선, Metric의 개념을 다음과 같은 실함수로 정의하자.
Def 비어있지 않은 집합 $X$와 임의의 $X$의 원소 $x,y,z$ 에 대해 다음 조건들을 만족하는 함수 $\rho: X \times X \to \R$ 을 metric이라고 한다.

1. $\rho(x,y) \geq 0$
2. $\rho(x,y) = 0 \iff x=y$
3. $\rho(x,y) = \rho(y,x)$
4. $\rho(x,y) \leq \rho(x,z) + \rho(z,y)$

공집합이 아닌 집합 X에 대해 위와 같이 정의된 Metric이 존재하면, 이를 거리공간(Metric Space)이라고 한다. 또한, 이러한 거리공간을 $(X, \rho)$ 형태로 표기한다. 예를 들어, 실수 전체의 집합(수직선)) $\R$에서 거리함수를 $\rho(x,y) = |x-y|$ 로 정의한 거리공간 $(\R,\rho)$ 은 잘 정의된 거리공간이라 할 수 있다.

노음선형공간에서의 거리

이전에 다루었던 노음선형공간을 생각해보자. 이떄, 노음의 정의를 만족하기 위해서는 삼각부등식 역시 만족시켜야 했는데(N1 성질), 이를 통해 어떤 노음선형공간 X에서 다음과 같이 metric을 정의하면,

이는 위에서 살펴본 거리의 성질을 모두 만족시키므로 노음선형공간은 거리공간임을 알 수 있다.

등장사상(isometry)

어떤 공집합이 아닌 집합 X에 대해 두 개 이상의 거리함수가 정의될 수도 있을 것이다. 이떄 두 metric의 비교가 필요한데, metric의 동치관계는 다음과 같이 정의한다.
Def $\rho,\sigma$ 가 집합 X에서의 두 metric 일때, 두 metric이 동치인 것은 임의의 $x_1,x_2 \in X$ 에 대해 다음을 만족시키는 $c_1,c_2>0$ 이 존재한다는 것이다.

예시로 1차원 유클리드공간 $\R$에서의 다음 두 metric을 살펴보자.

1. Discrete Metric : $\sigma(x,y) = I_{x=y}$
2. Absolute Metric : $\rho(x,y) = |x-y|$

이 경우 두 거리함수는 동치가 아님이 쉽게 확인되는데, $x_1,x_2 \in X$ 가 $x_1=x_2$ 인 경우를 살펴보자. 그러면 부등식의 가운데 항이 $\rho(x_1,x_2)=0$ 임은 자명하다. 반면, 두 원소가 동일하므로 discrete metric은 $\sigma(x_1,x_2)=1$이다. 따라서 왼쪽 부등호는 어떠한 양수에 대해서도 성립하지 않으므로, 두 거리가 동치관계가 아님을 알 수 있다.
위와 같은 거리의 동치관계 말고도 거리공간의 동치관계 역시 정의할 수 있다.
Def 거리공간 $(X,\rho)$ 에서 $(Y,\sigma)$ 로의 사상 $f$ 가 다음을 만족할 때, 사상 $f$ 를 등장사상isometry이라고 한다.

임의의 $x_1,x_2\in X$ 에 대해 $\sigma(f(x_1),f(x_2))=\rho(x_1,x_2)$

거리공간에서의 연속 실함수

정의

Def 거리공간 X에서 Y로의 사상 $f:X\to Y$ 가 X에서의 임의의 수열 $x_n$ 에 대해 다음을 만족하면 $x\in X$ 에서 연속이라고 정의한다.

만일 X의 모든 점에서 연속이면 사상 $f$를 연속이라고 한다. 해석개론에서 공부하는 입실론-델타 논법을 거리공간에 적용시키면, 다음과 같이 연속성을 정의할 수 있다.
Epsilon-Delta 거리공간 $(X,\rho)$ 에서 $(Y,\sigma)$ 로의 사상 $f$ 가 연속인 것과,
임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 다음을 만족하는 $\delta>0$ 의 존재성은 동치이다. (이떄 $N$은 근방neighborhood을 의미한다.)

마찬가지로, 균등연속(uniformly continuous) 역시 거리공간에서 다음과 같이 정의가 가능하다.
Unif.continuity 거리공간 $(X,\rho)$ 에서 $(Y,\sigma)$ 로의 사상 $f$ 가 균등연속인 것과,
임의의 $\epsilon>0$ 및 $u,v\in X$ 에 대해 다음을 만족하는 $\delta>0$ 의 존재성은 동치이다.

완비성

실수 집합에서 다루었던 것과 마찬가지로, 거리공간 $(X,\rho)$ 에서도 코시 수열을 정의할 수 있다. 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 자연수 $N$이 존재하여 $n,m \geq N \Rightarrow \rho(x_n,x_m)<\epsilon$ 을 만족하는 수열을 코시수열이라 정의한다. 이때, 거리공간 X의 모든 코시수열이 X의 어떤 점으로 수렴한다면 거리공간 X를 완비거리공간이라고 한다. 완비거리공간의 예시로는 다음과 같은 것들이 있다:

1. 유클리드공간 $\R^n$ 의 닫힌 부분집합 (공집합 X)
2. 가측실수집합 E와 $p\in[1,\infty]$ 에 대해 $L^p(E)$ 의 닫힌 부분집합 (공집합 X)
3. 공집합이 아닌 $C[a,b]$의 닫힌 부분집합

컴팩트성과 완전유계

완전유계공간 임의의 $\epsilon>0$ 에 대해 거리공간 X(혹은 X의 부분공간 E)가 유한개의 반지름이 $\epsilon$인 근방으로 덮일 수 있다면, X(E)를 완전유계공간이라고 한다.

어떤 거리공간 X에 대해 $\epsilon$-net 은 다음과 같은 유한덮개를 의미한다.

이떄, 어떤 거리공간이 완전유계이면 정의에 의해, 임의의 $\epsilon$에 대해 해당 공간을 덮는 $\epsilon-$net 이 존재함을 알 수 있다. 또한, 임의의 $\epsilon$에 대해서 반대로 어떤 거리공간을 덮는 $\epsilon-$net이 존재한다면 해당 거리공간은 완전유계임도 자명하다. 이와 더불어, 어떤 거리공간이 완전유계이면 유한덮개가 존재하고, 유한덮개들의 합집합은 유계집합이므로 완전유계공간은 유계집합임 역시 알 수 있다.

점렬컴팩트공간

거리공간 X의 모든 수열이 X의 점으로 수렴하는 부분수열을 가진다면 이를 점렬컴팩트하다고 한다.

거리공간의 컴팩트성

거리공간 X에 대해 다음은 모두 동치이다.

1. X가 완비거리공간이면서 완전유계공간이다.
2. X가 컴팩트공간이다.
3. X가 점렬컴팩트공간이다.

<증명>

(완비+완전유계 > 컴팩트)
만약 X가 완비이고 완전유계이지만 컴팩트하지 않다고 가정하자. 즉, X의 열린덮개 {$O_i$} 의 유한부분덮개가 존재하지 않는다. X가 완전유계이므로, 반지름이 1/2 보다 작은 유한개의 근방들로 구성된 덮개를 잡자. 그러면 이 중 어떤 덮개(열린집합)는 {$O_i$}의 유한부분덮개로 덮어지지 않는데, 이 덮개의 폐포 $F_1$를 생각하자. 그러면 $F_1$ 은 닫힌집합이고, 지름은 1 이하이다. 이번에는 반지름이 1/4보다 작은 유한개의 열린덮개들을 잡자. 이들 중 어떤 덮개와 $F_1$의 교집합은 {$O_i$}의 유한부분덮개로 덮이지 않을 것이고, 그 교집합의 폐포를 $F_2$라 하자. 그러면 $F_2 \subset F_1$ 이고, 귀납적으로 축소구간열 $F_n$ 을 계속해서 정의할 수 있으며, 각 $F_i$ 들은 {$O_i$}의 유한부분덮개로 덮이지 않는다. 그러나 축소구간정리에 의해 $x_0\in X$, $x_0 \in \bigcap_{n=1}^\infty F_n$ 인 원소 $x_0$ 이 존재한다. 또한 $x_0 \in O_k$ 인 k가 존재하고 $O_k$는 열린집합이므로 $N(x_0,r)\subseteq O_k$ 인 근방이 존재한다. 이때 축소구간열 $F_n$의 반지름을 충분히 작게 하면 $F_j \subseteq O_k$ 인 j가 존재하므로 이는 구간열 $F_n$이 유한부분덮개로 덮이지 않는다고 정의한 것과 모순이다.

(점렬컴팩트 > 완비+완전유계)
X가 완전유계가 아니라 가정하면 어떤 $\epsilon>0$ 에 대해서 유한개의 근방으로 X를 덮을 수 없다. 이에 한 점 $x_1 \in X$ 를 잡으면 X는 $N(x_1,\epsilon)$ 에 포함되지 않고, 따라서 $x_2\in X$ 이며 $\rho(x_1,x_2)>\epsilon$ 인 $x_2$ 를 잡을 수 있다. 그러면 X는 $N(x_1,\epsilon)\cup N(x_2,\epsilon)$ 에 포함되지 않으므로 마찬가지로 $x_3\in X$ 을 잡자. 이렇게 귀납적으로 잡은 수열 {$x_n$}은 수렴하는 부분수열을 가지지 않으므로, 점렬컴팩트하지 않다.
완비성을 보이는 것은 점렬컴팩트성과 코시수열의 성질을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.

앞서 살펴본 거리공간의 컴팩트성은, 거리공간이 유클리드공간의 부분공간으로 주어졌을 때는 다음이 성립한다. 이 중 1번과 2번 사이의 동치관계는 하이네-보렐 정리이며, 1번과 3번은 볼차노-바이어슈트라스 정리로 이들은 해석개론에서 다루기 때문에 본 포스팅에서의 증명은 생략하도록 하겠다.

유클리드공간에서의 컴팩트성

거리공간 X가 $\R^N$의 부분집합(부분공간) 일 떄, 다음은 서로 동치이다.

1. X가 닫혀있고, 유계집합이다.
2. X가 컴팩트공간이다.
3. X가 점렬컴팩트공간이다.

Lebesgue Covering Lemma

어떤 거리공간 X에 대해 {$O_i$} 가 X의 열린덮개라 하자. 그러면 X의 각 원소 $x\in X$를 포함하는 덮개의 원소 $O_\lambda$ 가 존재할 것이다. 또한 $O_\lambda$는 열린집합이므로, 어떠한 $\epsilon>0$ 이 존재하여 $N(x,\epsilon) \subseteq O_\lambda$ 를 만족시키게 된다. 일반적으로, 이 양수 $\epsilon$ 은 원소 x에 의해 결정된다고 볼 수 있다. 반면 컴팩트 거리공간에서는 x에 관계없이 위 성질을 만족시키는 양수 $\epsilon$ 이 존재하며 이를 르벡 수Lebesgue number 이라고 한다.

르벡 덮개 보조정리 컴팩트 거리공간 X와 열린덮개 {$O_i$} 에 대해 양수 $\epsilon>0$ 이 존재하여 임의의 원소 $x\in X$에 대해 $N(x,\epsilon)$ 이 어떠한 덮개의 원소 $O_i$ 에 포함된다.

분해가능 Separable 거리공간

Separable한 공간은 이전에 살펴본 것과 같이, 가산조밀부분집합의 존재성으로 정의된다.

명제 컴팩트거리공간은 separable하다.

컴팩트거리공간은 완전유계이므로, 임의의 자연수 n에 대해 반지름이 1/n 인 유한개의 근방들로 덮을 수 있다. 이떄 이렇게 구성된 근방들의 중심점들을 모으면 이는 유한집합이며, 임의의 $\epsilon$ 보다 작은 $1/n$ 을 잡을 수 있으므로(아르키메데스 정리) 조밀한 부분집합이 된다.

또한, separable한 거리공간의 부분공간을 잡으면 이 부분공간 또한 separable임을 알 수 있다.

Reference

• Real Analysis 4th edition, Royden