[실해석학] 바나흐 고정점 정리

바나흐 고정점 정리

바나흐 고정점 정리(혹은 축약 사상 정리)는 축약사상에 대해 고정점이 하나만 존재한다는 정리이다. 우선 이를 알기 위해 축약 사상과 고정점의 개념에 대해 다루어보자.

Def 거리공간 X에서의 점 $x\in X$ 와 사상 $T:X\to X$ 에 대해 $T(x)=x$ 이 성립하면 점 $x$를 X의 고정점이라고 한다.

Def 거리공간 $(X,\rho)$ 에서의 사상 $T$에 대해 다음이 성립하는 $c<1$ 이 존재한다면 이러한 립쉬츠 사상Lipschitz mapping을 축약사상contradiction 이라고 한다.

Banach Contradiction Principle
완비거리공간 X와 축약사상 $T:X\to X$ 에 대해, T의 고정점은 단 하나만 존재한다.

증명

앞선 축약사상의 정의 (1)을 만족하는 $0\leq c<1$ 을 잡고, X의 원소 $x_0$을 택하자. 이를 바탕으로 수열을 구성하는데, $x_1 = T(x_0)$ 으로 시작하여 $x_k=T(x_{k-1})$ 의 방식으로 구성하자. 그러면 $T$의 상(image)가 X의 부분집합이므로 수열 {$x_n$} 은 X에 속한다. 이때, 축약사상 성질에 의해 다음이 성립한다.

따라서, 어떤 자연수 $m>k$ 를 잡으면 삼각부등식으로부터

여기서 $\lim_k c^k =0$ 이므로 수열 {$x_n$}은 코시수열임을 알 수 있다. X가 완비공간이므로, 코시수열의 수렴값 역시 X에 포함된다. 이 점을 $x\in X$ 라고 하자. 또한, 립쉬츠 조건을 만족하는 사상 T는 연속이기도 하므로,

가 성립한다. 따라서 고정점이 한 개 이상임은 알 수 있다. 만약 고정점이 두개, 즉 $u,v\in X$ 가 존재한다고 가정하면

인데, c는 1보다 작으므로 $\rho(u,v)=0$ 이어야 한다. 따라서, 오직 한개의 고정점이 존재한다.

Reference

• Real Analysis 4th edition, Royden