[실해석학] 14. 헬리의 정리와 약한 점열 컴팩트성

Weak Sequential Compactness 약한 점열 컴팩트성

THM 14 가측집합 $E$와 $1<p<\infty$ 에 대해, $L^p(E)$ 공간에서의 임의의 유계수열 $\{f_n\}$은 $f \in L^p(E)$ 로 약한 수렴하는 부분수열을 가진다.

위 정리를 증명하기 위해서는 먼저 다음 헬리의 정리를 증명해야 한다.

Helley's THM

Separable NLS $X$와 쌍대공간 $X^\star$에서의 유계 선형범함수열 $T_n$ 에 대해, 부분수열 $T_{n_k}$ 와 유계인 $T \in X^\star$ 가 존재하여 임의의 $f\in X$에 대해

가 성립한다.

증명. 노음선형공간 $X$가 separable 하므로, 조밀한 가산부분집합 {$f_j:j\in\N$} 을 생각하자. 이때 선형범함수열 $T_n$이 유계이므로, 실수열 {$T_n(f_1) : n \in \N$} 을 생각하면 이는 유계실수열이다. 따라서 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열이 존재하므로,

$\lim_n T_{s(1,n)}(f_1) = a_1$

을 만족하는 인덱스 수열(자연수열) $\{s(1,n)\}$과 수렴값 $a_1$ 을 잡을 수 있다. 또한, 이렇게 생성된 부분수열 <$T_{s(1,n)}$> 역시 유계수열이므로, 수렴하는 수열 $\lim_n T_{s(2,n)}(f_2) = a_2$ 을 같은 방법으로 잡을 수 있다. 귀납적으로 이러한 인덱스 수열 $\{s(j,n)\}_{j,n\in \N}$ 을 구성해나가자.

이떄, 각 인덱스 $k$에 대해 $n_k=s(k,k)$ 로 두면 수열 {$n_k$}$^\infty_{k=j}$ 는 {$s(j,k)$}의 부분수열이므로,

$\lim_k T_{n_k}(f_j)=a_j$

가 성립한다.
즉, X의 조밀한 가산부분집합의 각 $f$ 에 대해 수열 {$T_{n_k}(f)$} 는 코시수열이고, $T(f) = \lim_k T_{n_k}(f)$ 로 정의하면 각각의 $T_{n_k}$ 가 선형범함수이므로 $T$ 도 선형이고, $T_{n_k}$ 가 유계이므로 $T$도 유계이다.

헬리의 정리를 증명했으므로, 우리는 이제 앞선 정리 14를 증명할 수 있다.

정리 14의 증명

먼저 정리의 조건에서와 같이 $f_n$ 을 $L^p(E)$ 공간에서의 유계함수열이라고 생각하자. 또한, $X = L^q(E)$ 로 두고, $X$에서의 선형범함수열 $T_n:X\to \R$ 을

라고 정의하자. 쌍대공간의 성질에서 살펴보았던 명제 2로부터 $T_n$ 은 유계이고, $\Vert T_n\Vert_\star = \Vert f\Vert_p$ 임을 알 수 있다. 쌍대공간 $X^\star$는 $X$에서의 유계선형범함수들의 집합이므로, {$T_n$}은 $X^\star$ 에서의 유계수열이다. 또한, Separability 에서 살펴본 정리 11로부터, $L^q(E)$ 공간이
separable 함도 이끌어낼 수 있다. 따라서 헬리의 정리의 요건이 만족되므로, 우리는 $T_n$의 부분수열 $T_{n_k}$이 존재하여 유계인 $T \in X^\star$ 로 수렴하는 것을 알 수 있다.
또한, 리즈 표현정리로부터(p,q를 바꾸어 생각하면 됨) 다음을 만족하는 함수 $f\in L^p(E)$ 의 존재를 확인할 수 있다.

이때 부분수열 $T_{n_k}$의 수렴으로부터,

이고 이는 이전 포스팅의 명제 6으로부터 약한수렴과 동치임이 확인된다. 따라서 부분수열 $f_{n_k}$ 는 $L^p(E)$에서 $f$로 약한수렴한다.

정리 14에서, $p=1$인 경우는 수렴하는 부분수열을 가질 수 있다. 유계폐구간 $I=[0,1]$ 에서의 구간열 $I_n=[0,1/n]$ 과 함수열 $f_n = n\cdot\chi_{I_n}$ 을 정의하자. 그러면 함수열의 각 함수들은 노음이 1이므로 이는 유계수열이다.
부분폐구간 $[c,d] \subset I$ 를 생각하면, 적분 $\int_c^d$ 은 유게선형범함수이므로, 약한수렴하는 부분수열 $f_{n_k}$ 가 존재한다면

이 성립해야 한다. 따라서 $f=0$이고 우변은 1이므로 모순이다.

약한 점열 컴팩트성의 정의

노음선형공간 $X$의 부분집합 $K$의 모든 함수열 $f_n$이 $f\in K$ 로 약한수렴하는 부분수열을 갖는다면,

$K$를 $X$에서 weakly sequentially compactWSC하다고 정의한다.

$L^p(E)$ 공간에서 유계인 함수열 $f_n$ 이 $\Vert f_n\Vert_p\leq 1$ 을 만족하도록 하자. 그러면 정리 14에 의해 $f\in L^p(E)$ 로 수렴하는 부분수열이 존재함을 알 수 있다. 따라서, 만일 집합

을 생각하면 이는 $L^p(E)$ 에서 WSC함을 알 수 있다.

Reference

• Real Analysis 4th edition, Royden