[실해석학] 2. sigma-algebra

1. Countability(가산성)

Def 집합 $E$가 가산무한집합Countably finite set : $E$가 자연수 집합 $\Bbb N$과 equipotent하다.

• 이때 Equipotent는 일대일대응으로 생각하면 편하다. (엄밀히 알기 위해서는 동치관계에 대한 내용이 필요한데, 추후 다른 글에서 기술하도록 하겠다.)

2. $\sigma$-Algebra

Def 집합 $X$의 부분집합들의 모임collection $F$가 다음 조건을 만족하면 $F$를 $X$의 시그마 대수라고 한다(collection 대신 family나 class라는 용어를 사용하기도 한다).

P1. $\emptyset \in F$
P2. $F$가 여집합 연산complement에 대해 닫혀있다.
P3. $F$가 가산개의 합집합 연산에 대해 닫혀있다.

<예시>

$X$의 가장 큰 시그마 대수 = $2^X$ (Power set of X)
$X$의 가장 작은 시그마 대수 = $\{\emptyset, \; X\}$

또한, 위로부터 다음과 같은 명제가 도출가능하다.

Proposition $X$의 부분집합들의 모임 $F$에 대해, $A$를 "$F$를 포함하는 모든 $X$의 $\sigma-algebra$의 교집합"이라고 정의하면 다음이 성립한다.

1. $A$도 $F$를 포함하는 시그마 대수이다.
2. $A$는 $F$를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.

이때 Initial Class(초기에 설정한 집합모임) $F$를 포함하는 모든 시그마 대수들의 교집합 $A$를 $\sigma(F)$ 로 표기한다. 즉, $\sigma(F)$는 $F$를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.

Def 실수 Borel Sets의 모임 $\mathcal B$ : $\Bbb R$의 모든 열린 집합을 포함하는 가장 작은 $\Bbb R$의 $\sigma$-algebra
i.e. Borel Set : 모든 개집합들을 포함하는 가장 작은 시그마 대수의 원소

EX. $\mathscr G$ = Collection of subintervals of $\Omega = (0. 1]$, $\mathcal B = \sigma(\mathscr G)$로 두면
$\mathcal B$의 각 원소는 Unit Interval $(0. 1]$의 Borel 집합이다.

Other Borel Sets

1. $G_\delta$ set : 열린 집합들의 가산 교집합
2. $F_\delta$ set : 닫힌 집합들의 가산 교집합
   $\Rightarrow$ 모두 Borel Set에 해당한다.

Reference

• Real Analysis, Royden
• Probability and Measure, Billingsley
• A course in Probability, Chung