역원(Exsitence of inverse element)
항등원에 역이되는 개념으로서 G의 임의의 원소 a에 대한 항등원이 정의 되었을 때 원소 a와 다른 원소 a-에 대한 연산결과가 항등원k가 되게하는 원소 a-를 의미한다. 식으로 표현을 해보았을 때 a+a-=k를 만족할 때 역원이 존재한다고 한다. 마찬가지로 예를 들어보자 실수공간을 집합으로 하며 연산를 통해 군 B를 만들었을 때 임의의 실수 t에대해 tt-=1이 되게하는 t-=1/t이며 군 B는 역원이 존재한다. 만약 집합을 실수공간이 아닌 정수체계로 택했을 경우 군B는 역원을 가지지 못하게 된다. 정수체계에서 1/t를 만족하는 원소는 존재하지 않기 때문이며 집합의 특성과 연산에 대한 정확한 파악이 중요하다.
닫힘(Closure)
집합 G의 임의의 원소를 연산했을 때 나오는 결과 또한 집합G에 속해야 한다는 뜻이며 G의 원소 a,b를 연산+ 했을 때 즉 a+b의 결과 또한 집합 G에 속해야 한다는 뜻이다. 예를 들어보면 실수공간에서의 집합에서 뽑은 두개의 원소를 연산+했을 때의 결과물은 실수공간을 벗어나서는 안된다는 뜻이다. 정수공간에서 뽑음 두개의 원소 p와q를 서로 나누어 보았을 때를 생각해보자 p/q가 정수일 때 즉 정수공간에서 정수공간으로 움직일 때는 닫힘의 성질을 만족하지만 p/q가 실수의 체계위로 움직일 때는 닫힘의 성질을 만족하지 않는다.
군의 종류
아벨군(abelian group): 군의 네가지 특성(결합,항등,역원,닫힘)을 만족하며 추가적으로 교환법칙이 성립할 경우 아벨군이라 칭한다. 기존의 +연산과 실수체계에 대한 집합을 군으로 하는 G에 대해 교환법칙이 성립하므로 아벨군이라 칭할 수 있다.
순환군(Cyclic group); 한원소로 군의 모든 원소를 표시할 수 있는 군을 의미하며, 이때의 해당원소를 생성원(generator)이라한다.(솔직히 처음 듣는다.)
부분군(sub Group): 군 G의 부분집합으로 군G와 같은 연산구조를 가진다.
가군(module Group): 어떤 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며 분배법칙이 존재하는 아벨군이다. 환의 한원소와 아벨군의 곱셈연산의 결합으로 만들어지는 대수구조이며 벡터공간 또한 가군이다.(벡터공간은 체에서 원소를 가져오며 환은 체의 하위구조이다 따라서 벡터공간은 가군이다.)
