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Rn에서 벡터 {v1,...vp} vector set이 linearly independent 이다.
→ x1v1 + ...+ xpvp = 0 벡터 방정식은 trivial solution을 갖는다. -
Rn에서 벡터 {v1,...vp} vector set이 linearly dependent 이다.
→ c1v1 + ...+ cpvp = 0 벡터 방정식은 nontrivial solution을 갖는다. 즉, 적어도 하나의 0이 아닌 솔루션을 갖는다. -
영벡터를 포함한 경우 일차종속
Rn에서 벡터 {v1,...vp} vector set 중 적어도 어느 한 벡터가 영벡터이면, 해당 벡터셋의 벡터들은 일차종속이다. -
한 개의 벡터를 포함한 경우
벡터 v만 있는 경우 v≠0일 때만 linearly independent이다.
v=0일 경우에 x1v=x10=0 → 임의의 x값이 들어가도 성립하기 때문 -
일차종속 관계인 두 벡터는 각각 서로의 스칼라 곱으로 나타낼 수 있다.
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Theorem. Characterization of Linearly Dependent Sets
vector set에 p개의 벡터들이 존재할 때, 만약 특정 벡터가 다른 벡터들의 linear combination으로 표현될 수 있다면 해당 vector set은 linearly dependent하다.
그리고 vector set이 linearly dependent하고, v1의 coefficient가 0이 아니라면, 어떤 vj(단, j>1)는 v1,...vj-1의 linear combination으로 표현 가능하다. -
Rn에서 v1,v2,v3...vm이 서로 다른 벡터라고 합시다. n<m이면(즉, n차원 벡터공간에서 n이 벡터 개수 m보다 작으면), 벡터 v1,v2,v3...vm은 linearly dependent이다.
→ 방정식 개수 n이 미지수의 개수 m보다 적기 때문에 free variable이 존재한다.
